Das Erfüllbarkeit Problem ist natürlich, ein grundsätzliches Problem in der theoretischen CS. Ich habe mit einer Version des Problems mit unendlich vielen Variablen gespielt.
Grundeinstellung. Sei eine nicht leere und möglicherweise unendliche Menge von Variablen . Ein Literal ist entweder eine Variable oder ihre Negation . Eine Klausel ist eine Disjunktion einer endlichen Anzahl von Literalen . Schließlich definieren wir eine Formel als eine Menge von Klauseln .¬ x c
Eine Zuordnung von ist eine Funktion . Ich werde die Bedingung nicht explizit definieren, wenn eine Zuweisung eine Klausel erfüllt; Es ist etwas umständlich und entspricht dem Standard-SAT. Schließlich erfüllt eine Zuweisung eine Formel, wenn sie jede konstituierende Klausel erfüllt. Sei die Menge befriedigender Zuordnungen für und sei \ unsat (F) das Komplement von \ sat (F) .σ : X → { 0 , 1 } σ s a t ( F ) F u n s a t ( F ) s a t ( F )
Ein topologischer Raum.
Unser Ziel ist es, den Raum aller Zuweisungen von , das heißt , mit einer topologischen Struktur auszustatten . Unsere geschlossenen Mengen haben die Form wobei eine Formel ist. Wir können überprüfen, ob dies tatsächlich eine Topologie ist:
- Die leere Formel keine Klauseln enthält , wird von allen Aufgaben erfüllt; also ist geschlossen.
- Die Formel für ein beliebiges ist ein Widerspruch. So ist geschlossen.
- Schließung unter willkürlicher Überschneidung. Angenommen ist eine Formel für jedes . Dann ist .
- Schließung unter endlicher Vereinigung. Angenommen, und sind zwei Formeln und definieren
Dann ist Hierfür ist ein Argument erforderlich, das überspringe ich jedoch.
Nennen Sie diese Topologie , die "Erfüllbarkeitstopologie" (!) In . Natürlich haben die offenen Mengen dieser Topologie die Form \ unsat (F) . Außerdem habe ich festgestellt, dass die Sammlung offener Mengen
Kompakt? Ich halte dies für eine interessante, wenn nicht sogar fürchterlich nützliche Betrachtungsweise. Ich möchte verstehen, ob dieser topologische Raum traditionelle interessante Eigenschaften wie Kompaktheit, Verbundenheit usw. besitzt. In diesem Beitrag beschränken wir uns auf Kompaktheit:
Sei eine unendlich zählbare Sammlung von Variablen. 1 Ist compact unter ?
Man kann folgendes beweisen
Vorschlag. ist kompakt, wenn und nur für alle nicht erfüllbaren Formeln eine endliche nicht erfüllbare Unterformel .
(Nicht so harte Übung!) Nach einigen Tagen des Nachdenkens habe ich keine großen Fortschritte bei der Beantwortung dieser Frage. Ich habe auch keine starken Beweise für oder gegen Kompaktheit. Können Sie einen Ansatz vorschlagen?
Zum Schluss als Bonusfrage:
Wurde eine solche Struktur schon einmal untersucht?
1 Die Beschränkung auf zählbares dient nur der Vereinfachung. es fühlt sich auch wie der nächste natürliche Schritt aus einer endlichen Anzahl von Variablen an.