Entscheiden Sie anhand eines Graphen, ob die Kantenverbindungsfähigkeit mindestens n / 2 beträgt oder nicht

Kapitel 1 des Buches The Probabilistic Method von Alon und Spencer erwähnt das folgende Problem:

Entscheide in einem gegebenen Graphen , ob seine Randkonnektivität mindestens beträgt oder nicht. $G$ $n/2$

Der Autor erwähnt die Existenz eines -Algorithmus von Matula und verbessert ihn zu . $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

Meine Frage ist, was ist die bekannteste Laufzeit für dieses Problem?

Lassen Sie mich den verbesserten Algorithmus beschreiben.

Entscheide zuerst, ob einen Mindestgrad von mindestens oder nicht. Wenn nicht, ist die Randkonnektivität deutlich geringer als . $G$ $n/2$ $n/2$

Wenn dies nicht der Fall ist, berechnen Sie als nächstes eine dominierende Menge von der Größe . Dies kann in der Zeit durch einen Algorithmus erfolgen, der im vorherigen Abschnitt des Buches beschrieben wurde. $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

Als nächstes wird das Folgende verwendet, was nicht sehr schwer zu beweisen ist:

Wenn der minimale Grad , muss für jeden Kantenschnitt mit einer Größe von höchstens , der in und teilt , jede dominierende Menge von ihre Eckpunkte sowohl in als auch in . $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

Betrachte nun die dominierende Menge . Da den Mindestgrad , muss jeder Kantenschnitt mit einer Größe von weniger als auch trennen . Somit finden wir für jedes die Größe des kleinsten Kantenschnitts, der und trennt . Jedes dieser Dinge kann in der Zeit Verwendung eines Max-Flow-Algorithmus durchgeführt werden. Die Gesamtzeit beträgt also . $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
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Natürlich wird auch hier eine Verbesserung des Max-Flow-Algorithmus zu einer Verbesserung führen. Aber ich denke, ist der beste derzeit bekannte Max-Flow-Algorithmus?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

Vielleicht verstehe ich etwas falsch, aber hat der zufällige Karger-Stein-Mincut-Algorithmus keine Laufzeit ?

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Ist die erwartete Laufzeit? Der von mir beschriebene Algorithmus ist vollständig deterministisch.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

Der Algorithmus ist Monte Carlo: Er wird immer in der Zeit und gibt den Minimalschnitt mit hoher Wahrscheinlichkeit aus. Die Ausfallwahrscheinlichkeit hängt natürlich umgekehrt von der Laufzeit ab. Entschuldigung, da Ihr Zitat Alon-Spencer ist, habe ich nur angenommen, dass der Algorithmus zufällig ist :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Wenn Sie nach einem deterministischen Algorithmus suchen, sollten Sie das in der Frage angeben. Ich kenne keinen deterministischen Algorithmus, der besser ist als für min cut (siehe Stoer-Wagner für einen einfachen Algorithmus, der diese Laufzeit erreicht). Es ist interessant, wie viel besser wir für das von Ihnen angegebene Problem deterministisch vorgehen können (8/3 im Exponenten erscheint für eine beste Bindung unnatürlich, aber wer weiß).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

Sie können dies problemlos in linearer Zeit überprüfen, da ein Graph genau dann eine Kanten-Konnektivität von mindestens wenn sein minimaler Grad mindestens beträgt . Sie haben sich bereits für den "nur wenn" -Teil ausgesprochen. Betrachten Sie nun einen Graphen, bei dem jeder Scheitelpunkt einen Grad von mindestens und einen Schnitt, der den Graphen in zwei Scheitelpunktmengen und mit . Ein Scheitelpunkt in kann höchstens Verbindungen zu anderen Scheitelpunkten in haben und muss daher mindestens beitragen. $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ Kanten bis zum Schnitt. Der Schnitt muss also mindestens groß sein . Es bleibt zu zeigen, dass , was wahr ist, da . $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Merkwürdigerweise verweist die ich nur finden , um dieses Ergebnis ist das von einer Bioinformatik Konferenz. Ich wäre sehr gespannt, ob es irgendwo anders bewiesen wurde.

Bearbeiten: Eine frühere Referenz ist: Gary Chartrand: Ein graphentheoretischer Ansatz zu einem Kommunikationsproblem , SIAM J. Appl. Mathematik. 14-4 (1966), S. 778-781.

— Falk Hüffner
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