Betrunkene Vögel gegen betrunkene Ameisen: Zufällige Spaziergänge zwischen zwei und drei Dimensionen

Es ist bekannt, dass ein zufälliger Gang im zweidimensionalen Gitter mit Wahrscheinlichkeit 1 zum Ursprung zurückkehrt. Es ist auch bekannt, dass derselbe zufällige Gang in DREI Dimensionen eine Wahrscheinlichkeit aufweist, die genau unter 1 liegt, zum Ursprung zurückzukehren .

Meine Frage ist:

Gibt es etwas dazwischen? Angenommen, mein Raum ist tatsächlich ein begrenzter Bereich der Ebene, der in z-Richtung bis ins Unendliche extrudiert wurde. (Was oft als 2,5 dimensional bezeichnet wird). Gilt das zweidimensionale Ergebnis oder das dreidimensionale?

Dies kam in Diskussionen auf und ein heuristisches Argument, das besagt, dass es sich zweidimensional verhält, ist, dass der einzige nichttriviale Teil des Weges der eindimensionale Strahl entlang der z-Richtung ist und daher zurückkehrt, da der endliche Bereich der Ebene schließlich abgedeckt wird zum Ursprung wird passieren.

Gibt es andere Formen, die zwischen dem zweidimensionalen und dem dreidimensionalen Fall interpolieren?

Update (aus Kommentaren übernommen): Eine verwandte Frage wurde bei MO gestellt - eine kurze Zusammenfassung besagt, dass, wenn der Weg gerade (2 + ϵ) ist, eine unsichere Rückkehr von einer divergierenden Reihe lose folgt. Die obige Frage ist jedoch etwas anders, da ich nach anderen Formen frage, die eine gewisse Rendite zulassen könnten.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
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Ich weiß nicht viel über das Thema, aber das Versickern kam mir in den Sinn! Wie wäre es mit zufälligen Spaziergängen auf Perkolationen? Scheint wahrscheinlich ein Kandidat für gebrochene Dimensionsergebnisse für ein beliebiges .

n > 1

$n > 1$

— vs

inwiefern meinst du dazwischen? Es scheint nicht viel zwischen 1 und genau unter 1 zu liegen; Wollen Sie also, dass das Dazwischen in Bezug auf die Dimension des Raums steht? Mit anderen Worten, muss eine Antwort ein Spaziergang auf etwas mit einem natürlichen Maß an Dimension sein?

— Artem Kaznatcheev

Hinweis: Eine verwandte Frage wurde auf MO gestellt: mathoverflow.net/questions/45098/… - eine kurze Zusammenfassung ist, dass wenn der Weg gerade dimensioniert ist, eine unsichere Rendite lose aus einer divergierenden Reihe folgt. Die obige Frage ist jedoch etwas anders, da ich nach anderen Formen frage, die eine gewisse Rückkehr zulassen könnten.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

— Suresh Venkat

Zufällige Spaziergänge auf Fraktalkurven .

— Aaron Sterling

Für einen begrenzten Bereich der Ebene, der entlang der Achse bis ins Unendliche extrudiert wurde , handelt es sich im Wesentlichen um eine verdickte Linie und nicht um eine gemästete Ebene. Daher würde ich erwarten, dass das Verhalten dem eindimensionalen Fall näher kommt als dem zweidimensionalen Fall.

z

$z$

— James King

Antworten:

Die Wahrscheinlichkeit für Bäume und Netzwerke von Peres und Lyon erwähnt dies in Kapitel 2 (Seite 50):

Eine Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, nach der Art der Zwischenräume zwischen und zu fragen . Betrachten Sie zum Beispiel den Keil $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
Dabei ist eine zunehmende Funktion. Die Anzahl der Kanten, die liegt in der Größenordnung von , so dass nach dem Nash-Williams-Kriterium $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
ist ausreichend für eine Wiederholung.

— Marcin Kotowski
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Dies ist eine hervorragende Referenz und verfügt über eine allgemeine Technik, um festzustellen, wann solche Wanderungen divergieren. Nett !

— Suresh Venkat

Ein 3-D-Zufallsrundgang in einem 3x3x3-Raum (wie ein Zauberwürfel) hat eine geringere Wahrscheinlichkeit, zum Ursprung zurückzukehren, wenn der Rundgang von außen beginnt. aber das eines 2x2x2 Raumes ist eins, ebenso wie 3x3x3 Raum mit dem Ursprung in der Mitte. Es scheint also einige Zwischenformen zu geben, aber vielleicht nicht sehr viele.

— xpda
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Ein Toroid ist jedoch zweidimensional. Ich finde es nicht überraschend, dass es zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren würde. Scheint ein Sonderfall von 2D zu sein.

— John Moeller

Und gefesselt! Es sollte noch einfacher sein , zum Ursprung zurückzukehren als im Flugzeug.

— Derrick Stolee

Hoppla, du hast recht. Ich werde es in eine andere Form bearbeiten.

— xpda