Kunstgalerie-Varianten mit paarweiser Sichtbarkeit?

Das Problem der traditionellen Kunstgalerie richtet eine Region und Wachen mit einer gewissen Sichtbarkeit ein und fordert die Mindestanzahl von Wachen an, die platziert werden müssen, um die gesamte Region zu sehen.

Hat sich jemals jemand Kunstgalerievarianten angesehen, bei denen der Sichtbarkeitsbereich stattdessen von zwei Wachen definiert wird ? Zum Beispiel könnte eine Formulierung sein, dass ein Punkt abgedeckt wird, wenn es ein Paar von Schutzvorrichtungen gibt, deren minimale Begrenzungsscheibe ihn abdeckt?

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— Suresh Venkat
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Quis custodiet ipsos custodes?

— Artem Kaznatcheev

Um die Frage von @ Artem zu beantworten, gibt es eine Vorstellung von verbundenen Wachen , die zwei Varianten hat. Lassen Sie das Sichtbarkeitsdiagramm mit einem Scheitelpunkt für jede Wache und einer Kante zwischen zwei Scheitelpunkten definiert werden, wenn sich die Wachen sehen können. Wenn das Sichtbarkeitsdiagramm verbunden ist, werden alle Wachen bewacht (manchmal als "Satz bewachter Wachen" bezeichnet). Eine stärkere Bedingung ist, dass das Sichtbarkeitsdiagramm eine einzelne verbundene Komponente enthält. Dann haben Sie eine Reihe von verbundenen Wachen. Und ja, hier gibt es eine Menge Arbeit. Ich habe sogar über ein Papier gebloggt.

— Aaron Sterling

Hoppla, oben sollte lauten: "Wenn das Sichtbarkeitsdiagramm keine isolierten Eckpunkte hat, werden alle Wachen bewacht ..."

— Aaron Sterling

"Wer bewacht die Wachen"? Mein Latein ist nur Schwein :)

— Suresh Venkat

Beachten Sie, dass in meiner Formulierung nicht erforderlich ist, dass das Diagramm für die induzierte Sichtbarkeit verbunden ist. Während dies bei achsparallelen Rechtecken möglicherweise kein Problem darstellt, kann es sich tatsächlich um ein Problem bei Regionen handeln, die nicht so schön sind (wie elliptische Regionen). Aber der Zeiger für verbundene Wachen ist gut: Ich denke, dass wahrscheinlich einige Varianten meines Problems auf diese Weise angegangen werden können.

— Suresh Venkat

Antworten:

Mir ist eine solche Arbeit nicht bekannt. Ich würde jedoch erwarten, dass ein solches Problem NP-vollständig ist und für Polygone mit Löchern genauso schwer zu approximieren ist wie Set Cover. Das relativ einfache Problem der Vertex / Vertex-Bewachung, bei dem Wachen nur auf Scheitelpunkten liegen können und nur Scheitelpunkte geschützt werden müssen, ist so schwierig ( Eidenbenz, Stamm und Widmayer (2001) ).

Für einfache Polygone erwarte ich ein solches Problem:

NP-komplett
APX-hart
$O(\log(\rm{opt}))$

Das Vertex / Vertex-Schutzproblem ist für einfache Polygone APX-schwer ( Eidenbenz (1998) ).

$\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

Ich habe in meiner Diplomarbeit ein wenig über dieses Problem nachgedacht, bin jedoch zu dem Schluss gekommen, dass es keine besonders interessanten Varianten gibt, die sich nicht ziemlich genau auf ein bekanntes Problem der Einzelwache zu beschränken scheinen.

— James King
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Eher zu spät zu dieser Frage (sorry!). Es gibt zumindest ein bisschen Arbeit.

(1) Dies scheint ein Forschungsbericht für Studenten (Swarthmore) zu sein: "Optimale doppelte Abdeckung in der Kunstgalerie", Scott Dalane, Andrew Frampton, 2008, PDF-Link . Aus ihrer Schlussfolgerung:

$\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

— Joseph O'Rourke
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Also habe ich darüber nachgedacht. Ich denke, der Hauptunterschied zwischen doppelter Abdeckung und meinem Problem besteht darin, dass es dieses Problem der "Verbundenheit" gibt. Mit anderen Worten, keiner der Sichtbarkeitsbereiche der beiden Wachen wird aktiviert, es sei denn, sie sind für einander "sichtbar". Es ist einfach, Beispiele zu erstellen, bei denen Sie eine Region mit Wachen, die sich nicht sehen, doppelt abdecken können. Jetzt wurde AUCH das Problem der verbundenen Wachen untersucht, aber in einem anderen Kontext, der auch hier nicht zutrifft - speziell dort muss das Sichtbarkeitsdiagramm der Wachen verbunden sein, und das brauche ich nicht.

— Suresh Venkat

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Nicht ganz. Es ist keine reine Sichtbarkeit. Ein Schutzpaar definiert einen "Sichtbarkeitsbereich" und ein Punkt wird abgedeckt, wenn er im Sichtbereich der Schutzvorrichtungen liegt. Es ist tatsächlich möglich, dass Wachen, die sich nicht sehen können, ODER den Punkt im traditionellen Sinne der "Sichtlinie", den Punkt "abdecken".

— Suresh Venkat

Danke fürs klarstellen. Dieses Modell scheint anders zu sein als alles, was ich weiß.

— Joseph O'Rourke