Wie viele Sprachen werden von einem DFA der Größe

Die Frage ist einfach und direkt: Für ein festes , wie viele (verschiedene) Sprachen werden von einem DFA der Größe (dh Zustände) akzeptiert ? Ich werde dies formell erklären: $n$ $n$ $n$

Definieren Sie eine DFA als , wobei alles wie gewohnt ist und eine (möglicherweise partielle) Funktion ist. Wir müssen dies feststellen, da manchmal nur Gesamtfunktionen als gültig betrachtet werden. $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

Definieren Sie für jedes die (Äquivalenz-) Beziehung auf der Menge aller DFAs als: if und . $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

Die Frage ist dann: für ein gegebenes , was ist der Index von ? Das heißt, wie groß ist die Menge ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

Selbst wenn eine Gesamtfunktion ist, scheint es keine einfache Zählung zu sein (zumindest für mich). Die Grafik kann nicht angeschlossen werden, und die Zustände in der angeschlossenen Komponente den Anfangszustand mit allen, könnte die Annahme so zum Beispiel gibt es viele Graphen der Größe akzeptieren . Gleiches gilt für andere triviale Kombinationen für die leere Sprache und für andere Sprachen, deren minimaler DFA weniger als Zustände hat. $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(Eine naive) Rekursion scheint auch nicht zu funktionieren. Wenn wir einen DFA der Größe und einen neuen Zustand hinzufügen, müssen wir einen Übergang entfernen, um den neuen Zustand zu verbinden In diesem Fall können wir die Originalsprache verlieren. $k$

Irgendwelche Gedanken?

Hinweis. Ich habe die Frage erneut aktualisiert, mit einer formellen Aussage und ohne die vorherigen ablenkenden Elemente.

— Janoma
quelle

Zur Verdeutlichung: Meinen Sie "Wie viele verschiedene Sprachen kann man mit

Zuständen definieren ?", Wobei eine Sprache mit

Zuständen definiert wird , wenn es einen DFA mit

Zuständen gibt, der dies akzeptiert. Auch für die regulären Ausdrücke hat der reguläre Ausdruck "a * aaaaaa" sicherlich> 1 Verkettungen, aber der DFA benötigt nur einen Status (zwei, wenn Sie eine separate Senke benötigen), nicht wahr?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen

Apologies: Für die regex Beispiel sollte es sein „a a a a a *“, so dass eine beliebige Anzahl zulässt.

— Evgenij Thorstensen

Die Definition von

scheint sehr mit dem Begriff "Punkttiefe" verwandt zu sein, mit der Ausnahme, dass dieses Konzept normalerweise auf sternfreie Sprachen angewendet wird (wahrscheinlich aus den Gründen, die @Evgenij Thorstensen darlegte).

c (r)

$c(r)$

— mhum

Triviale Beobachtung: Mit

Zuständen können mindestens

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$ verschiedene Sprachen definiert werden.

— Evgenij Thorstensen

Wir können ein bisschen mehr bekommen, also scheint

Ordnung zu sein. Aber die Anzahl der Automaten mit

Zuständen liegt bei

(unter der Annahme von

). Können wir

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— Kaveh

Ich denke, dass diese Frage zuvor untersucht wurde. Mike Domaratzki schrieb eine Umfrage zur Forschung in diesem Bereich: "Aufzählung der formalen Sprachen", Bull. 5-1997, Ziff. EATCS, vol. 89 (Juni 2006), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Hermann Gruber
quelle

Das Papier behandelt genau die gestellte Frage ab Seite 120. Es ist die Funktion

, und das Papier enthält ziemlich enge Grenzen (in der Nähe dessen, was Kaveh oben erwähnt hat), obwohl ich nicht alle Details inhaliert habe.

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— Evgenij Thorstensen

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

Und vom selben Autor haben wir den Artikel Über die Anzahl der von endlichen Automaten akzeptierten unterschiedlichen Sprachen mit n Zuständen , der sogar explizite Berechnungen für liefert.

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$ ) and

g_{3} (n)

$g_3(n)$ (

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$ ).

— Janoma