Probleme zwischen P und NPC

Faktorisierung und Graph-Isomorphismus sind Probleme in NP, von denen weder bekannt ist, dass sie in P sind, noch dass sie NP-vollständig sind. Welche anderen (ausreichend unterschiedlichen) natürlichen Probleme teilen diese Eigenschaft? Künstliche Beispiele, die direkt aus dem Ladner-Beweis stammen, zählen nicht.

Sind einige dieser Beispiele nachweislich NP-intermediär, wenn man nur eine "vernünftige" Hypothese annimmt?

Hier ist eine Sammlung von Antworten auf Probleme zwischen P und NPC:

• Factoring
• Isomorphismus Probleme: Graphisomorphie [nicht NPC , es sei denn ] (via @ Jeff Kinne), Graph Automorphismengruppen, Gruppenisomorphismus, Automorphismengruppen, Ring Isomorphismus und Automorphismengruppen (via @Joshua Grochow)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• Berechnung der Rotationsentfernung zwischen zwei Binärbäumen oder der Kippentfernung zwischen zwei Triangulationen desselben planaren Punktsatzes (via @David Eppstein)
• Das Turnpike-Problem der Rekonstruktion von Linienpunkten aus Entfernungen (via @Suresh Venkat)
• Probleme aufgrund der Unique Games Conjecture (via @Moritz)
• Discrete Log Problem und andere Probleme im Zusammenhang mit kryptografischen Annahmen (via @Joe Fitzsimons)
• Ermittlung des Gewinners in Paritätsspielen (via @mashca)
• Bestimmen, wer die höchste Gewinnchance für ein stochastisches Spiel hat (über @Peter Shor auf MO)
• Zahlen in Boxen Probleme (via @Joshua Grochow)
• Agenda-Kontrolle für ausgeglichene Single-Elimination-Turniere (via @virgi)
• Knoten-Trivialität (via @JeffE)
• (Unter der Annahme von NEXP ≠ EXP) gepolsterte Versionen von NEXP- vollständigen Problemen (via @Joshua Grochow)
• Probleme in TFNP (via @Marcos Villagra)
• Schnittpunkt monotoner SAT (via @ András Salamon)
• Minimum Circuit Size Problem (via @Eric Allender)
• Entscheiden, ob eine gegebene triangulierte 3-Mannigfaltigkeit eine 3-Kugel ist (via @Joe O'Rourke und @Peter Shor)
• Der Ausschnitt Stock Problem mit einer konstanten Anzahl von Objektlängen (über @Suresh Venkat)
• Monotone Selbst-Dualität (via @Danu)
• Planare Minimalhalbierung (via @turkistany)
• Pigeonhole Subset Sum (via @ user834)
• Square Root Sums (via @JeffE)
• Entscheiden, ob ein Graph eine anmutige Beschriftung zulässt (via @Oleksandr Bondarenko)
• Lückenversion des nächsten Vektors im Gitterproblem GapCVP (über @MCH)$(\sqrt{n})$
• Das Problem der linearen Teilbarkeit [bekanntermaßen vollständig, aber nicht NPC] (via @Oleksandr Bondarenko)$\gamma$
• Finden der VC-Dimension (via @Mohammad al Turkistany)
• Finden des minimalen dominierenden Satzes in einem Turnier (via @Mohammad al Turkistany)
• Geclusterte Planarität

Mein Lieblingsproblem in dieser Klasse (ich werde es als funktionales Problem ausdrücken, aber es ist einfach, auf die übliche Weise in ein Entscheidungsproblem umzuwandeln): Berechne den Rotationsabstand zwischen zwei binären Bäumen (äquivalent den Kippabstand zwischen zwei Triangulationen von ein konvexes Polygon).

Ein Problem, das weder in dieser Liste noch in der MO-Liste erwähnt wird, ist das Turnpike-Problem. Bei einem Mehrfachsatz von n (n-1) / 2 Zahlen, wobei jede Zahl den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Linie darstellt, rekonstruieren Sie die Positionen der ursprünglichen Punkte.

Beachten Sie, dass das Nicht-Triviale daran liegt, dass Sie für eine bestimmte Zahl d im Multiset nicht wissen, welches Punktepaar d Einheiten voneinander entfernt ist.

Obwohl bekannt ist, dass es für eine bestimmte Instanz nur eine polynomielle Anzahl von Lösungen gibt, ist nicht bekannt, wie man eine findet!

Die Summe der Quadratwurzelprobleme: Ausgehend von zwei Folgen und b 1 , b 2 , … , b n positiver Ganzzahlen ist A : = ∑ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ kleiner, gleich oder größer alsB:=∑i$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• Das Problem hat einen trivialen -Zeitalgorithmus im realen RAM - Berechnen Sie einfach die Summen und vergleichen Sie sie! - aber dies impliziert nicht die Mitgliedschaft in P.$O(n)$

• Es gibt einen offensichtlichen Algorithmus mit endlicher Genauigkeit, es ist jedoch nicht bekannt, ob eine polynomielle Anzahl von Bits mit Genauigkeit für die Richtigkeit ausreicht. (Weitere Informationen finden Sie unter http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html .)

• Das pythogoreische Theorem impliziert, dass die Länge jeder polygonalen Kurve, deren Eckpunkte und ganzzahlige Endpunkte eine Summe der Quadratwurzeln von ganzen Zahlen ist. Somit ist das Wurzelsummenproblem mehreren planaren Berechnungsgeometrieproblemen inhärent, einschließlich euklidischer minimaler Spannbäume , euklidischer kürzester Wege , Triangulationen mit minimalem Gewicht und des euklidischen Handelsreisendenproblems . (Das euklidische MST-Problem kann in polynomialer Zeit gelöst werden, ohne das Wurzelsummenproblem zu lösen, dank der zugrunde liegenden Matroidstruktur und der Tatsache, dass das EMST ein Subgraph der Delaunay-Triangulation ist.)

• Es gibt einen polynomzeit-randomisierten Algorithmus von Johannes Blömer , der entscheidet, ob die beiden Summen gleich sind. Lautet die Antwort jedoch nein, ermittelt der Blömer-Algorithmus nicht, welche Summe größer ist.

• Die Entscheidungsversion dieses Problems (Ist ?) Ist nicht einmal als NP bekannt. Der Blömer-Algorithmus impliziert jedoch, dass das Entscheidungsproblem auch im Co-NP liegt, wenn es im NP liegt. Daher ist es unwahrscheinlich, dass das Problem NP-vollständig ist.$A > B$

Hier ist eine Liste von Problemen, die als "ausreichend" unterschiedlich eingestuft werden können oder nicht. Nach dem gleichen Beweis wie für den Graphisomorphismus kollabiert die Polynomialhierarchie auf die zweite Ebene, wenn einer von ihnen NP-vollständig ist. Ich glaube nicht, dass es einen breiten Konsens darüber gibt, welches dieser Elemente in P "enthalten sein sollte".

• Graph-Automorphismus (Bestimmen Sie, ob ein Graph einen nichttrivialen Automorphismus hat). Reduziert auf Graph Isomorphism, aber nicht bekannt (nicht gedacht?), Um GI-hart zu sein.
• Gruppenisomorphismus und Automorphismus (wobei die Gruppen durch ihre Multiplikationstabellen gegeben sind). Auch hier reduziert sich der Graph auf Isomorphismus, wird aber nicht als GI-schwer angesehen.
• $P$
• Dieser Beitrag von Bill Gasarch enthält einige andere Probleme mit dem Geschmack der Ramsey-Theorie, die so aussehen, als wären sie mittelschwer.
• $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$$NEXP$

Das Minimum Circuit Size Problem (MCSP) ist mein bevorzugtes "natürliches" Problem in NP, von dem nicht bekannt ist, dass es NP-vollständig ist Hat f bei einer gegebenen Zahl s einen Stromkreis der Größe s? Wenn MCSP einfach ist, gibt es keine kryptografisch sichere Einwegfunktion. Dieses Problem und seine Varianten lieferten einen Großteil der Motivation für die Untersuchung von "Brute-Force" -Algorithmen in Russland, was zu Levins Arbeiten zur NP-Vollständigkeit führte. Dieses Problem kann auch in Bezug auf die ressourcenbeschränkte Komplexität von Kolmogorov gesehen werden: Fragen, ob eine Zeichenfolge aus einer kurzen Beschreibung schnell wiederhergestellt werden kann. Diese Version des Problems wurde von Ko untersucht; Soweit ich weiß, wurde der Name MCSP zuerst von Cai und Kabanets verwendet. Weitere Referenzen finden Sie in einigen meiner Artikel: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

Monotone Selbst-Dualität

$f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$$f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$$f(x_1, x_2, ..., x_n)$$f=f^d$

$\log^2 n$$O(\log^2n/ \log\log n)$$O(n^{\log n/\log \log n})$

Es ist noch offen, ob dieses Problem in P liegt oder nicht. Weitere Details finden Sie in der Arbeit von 2008 " Rechnerische Aspekte der Monoton-Dualisierung: Eine kurze Übersicht " von Thomas Eiter, Kazuhisa Makino und Georg Gottlob.

Knoten-Trivialität: Ist eine geschlossene polygonale Kette im 3-Raum ungeknotet (dh umgebungsisotopisch zu einem flachen Kreis)?

Es ist bekannt, dass dies in NP durch tiefere Ergebnisse in der normalen Oberflächentheorie erfolgt, aber es ist kein Polyzeitalgorithmus oder NP-Härtedruck bekannt.

Es ist nicht bekannt, ob es möglich ist, in polynomieller Zeit zu entscheiden, ob Spieler 1 eine Gewinnstrategie in einem Paritätsspiel hat (von einer gegebenen Startposition aus). Das Problem ist jedoch in NP und Co-NP und sogar in UP und Co-UP enthalten.

Sie erhalten eine sehr lange Liste von Problemen, wenn Sie bereit sind, Approximationsprobleme zu akzeptieren, z. B. die Approximation von Max-Cut auf einen Faktor von 0,878. Wir wissen nicht, ob es NP-hart oder in P ist (nur wenn wir die Uniuqe Games Conjecture annehmen, wissen wir, wie hart NP ist).

In einer monotonen CNF-Formel enthält jeder Satz nur positive oder nur negative Literale. In einer sich überschneidenden monotonen CNF-Formel hat jeder positive Satz eine Variable gemeinsam mit jedem negativen Satz.

Das Entscheidungsproblem

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Thomas Eiter und Georg Gottlob, Hypergraph Transversal Computation und verwandte Probleme in Logik und KI , JELIA 2002. doi: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

Ist eine gegebene triangulierte 3-Mannigfaltigkeit eine 3-Kugel? Von Joe O'Rourke.

Die Pigeonhole-Version von Subset Sum (oder Subset Sum Equality).

Gegeben:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

Das Pigeonhole-Subset-Summenproblem fragt nach einer solchen Lösung. Ursprünglich angegeben in " Effiziente Approximationsalgorithmen für das SUBSET-SUMS-EQUALITY-Problem " von Bazgan, Santha und Tuza.

Es gibt viele Probleme beim Auffinden versteckter Untergruppen. Sie haben Factoring erwähnt, aber es gibt auch das Problem des diskreten Protokolls sowie andere Probleme im Zusammenhang mit elliptischen Kurven usw.

Hier ist ein Problem bei der rechnerischen sozialen Wahl, von dem nicht bekannt ist, dass es sich um P handelt und das NP-vollständig sein kann oder nicht.

Agenda-Kontrolle für ausgeglichene Single-Elimination-Turniere:

$T$$n=2^k$$a$

Frage: Gibt es eine Permutation der Knoten (eine Klammer ), so dass a der Gewinner des induzierten Einzelausscheidungsturniers ist?

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

Agenda-Kontrolle für ausgeglichene Single-Elimination-Turniere (Grafikformulierung):

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

Einige Referenzen:

1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh IJCAI 2007: 1372 & ndash; 1377.
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus und M. Wooldridge. Wie man Wahlen und Wettbewerbe manipuliert. COMSOC 2008.
3. Thuc Vu, Alon Altman und Yoav Shoham. Über die Komplexität der Zeitplanprobleme bei Ko-Turnieren. AAMAS (1) 2009: 225 & ndash; 232.
4. V. Vassilevska Williams. Ein Turnier reparieren. AAAI 2010.

Schauen Sie sich die Klasse TFNP an . Es gibt viele Suchprobleme mit einem Zwischenstatus.

Das induzierte Subgraph-Isomorphismus-Problem weist NP-unvollständige "linke Seitenbeschränkungen" auf, vorausgesetzt, dass P nicht gleich NP ist. Siehe Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: Verständnis der Komplexität induzierter Subgraph-Isomorphismen , ICALP 2008.

$NP$$NP$

Minimales Bisektionsproblem: Suchen Sie eine Partition des Knotensatzes in zwei gleich große Teile, so dass die Anzahl der sich kreuzenden Kanten minimiert wird.

Karpinski, Approximierbarkeit des Minimalhalbierungsproblems: Eine algorithmische Herausforderung

Das Schneidgutproblem bei einer konstanten Anzahl von Objektlängen. Weitere Informationen finden Sie in dieser Diskussion .

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JA Gallian. Eine dynamische Übersicht über die Diagrammbeschriftung. Das elektronische Magazin für Kombinatorik, 2009.
2. DS Johnson. Die NP-Vollständigkeitssäule: Ein fortlaufender Leitfaden. J. Algorithms, 4 (1): 87–100, 1983.
3. DS Johnson. Die NP-Vollständigkeitssäule. ACM Transactions on Algorithms, 1 (1): 160–176, 2005.

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Garey und Johnson in ihrem wegweisenden "Computers and Intractability" sagen, dass (S. 158-159):

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

Es wird angenommen, dass das folgende Problem ein NP-Intermediat ist, dh es ist in NP, aber weder in P noch in NP vollständig.

Exponentiating Polynomial Root Problem (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

Weitere Details finden Sie in meiner Frage und der zugehörigen Diskussion .

Ich weiß nicht, ob das in der Antwort von Thinh D. Nguyen vorgeschlagene Problem des gewichteten Hypergraphen-Isomorphismus nicht einfach als GI-vollständig nachgewiesen werden kann. Es gibt jedoch ein GI-hartes Problem, das eng mit GI verwandt ist und noch nicht auf GI reduziert wurde, nämlich das String-Isomorphismus-Problem (auch als Farbisomorphismus-Problem bezeichnet ). Dies ist das Problem, das László Babai in quasi-polynomialer Zeit zeigt. Es ist von unabhängigem Interesse, da es einer Reihe von Entscheidungsproblemen in der (Permutations-) Gruppentheorie entspricht:

• COSET-Kreuzungsproblem
• Problem beim Testen der doppelten COSET-Mitgliedschaft
• Gruppenfaktorisierungsproblem

Ein Problem, von dem weder in der FP noch in der NP bekannt ist, dass es NP-hart ist, ist das Problem, einen minimalen Steiner-Baum zu finden, wenn versprochen wird, dass die Steiner-Eckpunkte auf zwei gerade Liniensegmente fallen, die sich in einem Winkel von 120 ° schneiden. Wenn der Winkel zwischen den Liniensegmenten weniger als 120 ° beträgt, ist das Problem NP-schwer. Es wird vermutet, dass das Problem in FP liegt, wenn der Winkel größer als 120 ° ist.

Daher scheint das folgende Entscheidungsproblem gegenwärtig von mittlerer Komplexität zu sein:

$q$
$q$

Natürlich kann dies tatsächlich in P oder NP-vollständig sein, aber dann scheinen wir eine interessante Zweiteilung bei 120 ° anstelle eines Zwischenproblems zu haben. (Die Vermutung kann auch falsch sein.)

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, Steinerbäume für kurvengebundene Terminals , SIAM J. Diskrete Mathematik. 10 (1) 1–17, 1997. doi: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$