Maximal / Maximum unabhängige Sätze

Gibt es etwas über die Klasse der Graphen mit der Eigenschaft, dass alle maximalen unabhängigen Mengen dieselbe Kardinalität haben und daher maximale ISs sind?

Nehmen Sie zum Beispiel eine Menge von Punkten in der Ebene und betrachten Sie das Diagramm der Schnittpunkte zwischen allen Segmenten zwischen Punktpaaren in der Menge. (Segmente-> Eckpunkte, Schnittpunkte-> Kanten). Dieser Graph hat die obige Eigenschaft, da alle maximalen ISs Triangulationen der ursprünglichen Punktmenge entsprechen. Gibt es andere Kategorien von Diagrammen, von denen bekannt ist, dass sie diese Eigenschaft haben? Kann diese Eigenschaft einfach getestet werden?

Solche Graphen werden gut abgedeckte Graphen genannt. Hier ist ein kürzlich veröffentlichter Artikel zu diesem Thema, in dem mehrere nützliche Referenzen aufgeführt sind. Wie Suresh erwähnte, ist das Erkennungsproblem co-NP-vollständig.

Beachten Sie, dass die unabhängigen Mengen eines Diagramms einen abstrakten simplizialen Komplex bilden. Simpliziale Komplexe, die auf diese Weise entstehen, werden als "Unabhängigkeitskomplexe" oder "Flaggenkomplexe" bezeichnet. Ein simplizialer Komplex gilt als rein, wenn jeder maximale Simplex dieselbe Kardinalität hat. Vielleicht finden Sie relevante Dokumente, wenn Sie nach "Pure Independence Complex" oder "Pure Flag Complex" suchen.

Die Eigenschaft MAXIMAL = MAXIMUM für unabhängige Mengen in Graphen und allgemeineren kombinatorischen Strukturen ist wichtig. Es wird interessant sein, Diagramme zu verstehen, in denen diese Eigenschaft für alle induzierten Untergraphen gilt. Ein allgemeiner abstrakter Fall, in dem wir MAXIMUM = MAXIMAL haben, ist, wenn eine zugrunde liegende Matroidstruktur vorliegt, aber es gibt viele andere Fälle, wie der in der Frage erwähnte Fall maximaler planarer Graphen. Hier ist ein verwandtes Beispiel: Betrachte n Punkte in der Ebene in konvexer Position und lasse k eine ganze Zahl sein. Betrachten Sie Diagramme, deren Eckpunkte Liniensegmente zwischen diesen Punkten sind, an denen zwei Eckpunkte benachbart sind, wenn sich die Liniensegmente nicht kreuzen. Dress hat bewiesen, dass für diesen Graphen MAXIMIM = MAXIMAL für unabhängige Mengen gilt.