Was ist die Beziehung und der Unterschied zwischen der Berechnung induktiver Konstruktionen und der Theorie des intuitionistischen Typs?

Wie im Titel angegeben, frage ich mich, ob es einen Zusammenhang und Unterschied zwischen CIC und ITT gibt. Könnte mir jemand eine Literatur erklären oder zeigen, die diese beiden Systeme vergleicht? Vielen Dank.

Ich habe bereits etwas geantwortet, aber ich werde versuchen, einen detaillierteren Überblick über den typentheoretischen Horizont zu geben, wenn Sie so wollen.

$\lambda$

Das Automath-System war eine Weiterentwicklung der einfachen Typentheorie der Kirche, die selbst eine dramatische Vereinfachung der Typentheorie von Russel und Whitehead mit den Universen und dem Axiom der Reduzierbarkeit darstellte . Dies war in den 1960er Jahren ein relativ bekanntes logisches Terrain.

Legt die entsprechende Eliminierungsregel fest. Er gab dann ein sehr leistungsfähiges Grundsystem an, das auf solchen Urteilen beruhte und es ihm ermöglichte, mit sehr wenigen syntaktischen Konstruktionen ein Grundsystem zu geben, das Automath ähnlich war. Girard stellte fest, dass dieses System widersprüchlich war, was Martin-Löf dazu veranlasste, prädikative Universen im "Russel-Stil" zu übernehmen , die Aussagekraft der Theorie stark einzuschränken (indem das Axiom der Reduzierbarkeit effektiv entfernt wurde) und sie etwas komplexer machte (aber den Vorteil hatte) konsistent machen).

Die eleganten Konstruktionen, die die Definition der logischen Symbole ermöglichten, funktionierten jedoch nicht mehr, was ML dazu veranlasste, sie in einer anderen Form als induktiv definierte Familien einzuführen . Dies ist eine sehr mächtige Idee, da sie es ermöglicht, alles zu definieren, von der Urteilsgleichheit über logische Operatoren bis hin zu natürlichen Zahlen und funktionalen Datentypen, wie sie in der Informatik vorkommen. Beachten Sie, dass jede Familie, die wir hinzufügen, mit dem Hinzufügen einer Reihe von Axiomen vergleichbar ist, die in jedem Fall als konsistent begründet werden müssen. Dieses System (abhängige Typen + Universen + induktive Familien) wird normalerweise als ITT bezeichnet .

Es gab jedoch eine gewisse Frustration, da das mächtige, aber einfache Grundsystem inkonsistent und das resultierende System komplexer und etwas schwach war (in dem Sinne, dass es schwierig war, einen Großteil des modernen mathematischen Rahmens darin zu entwickeln). Betreten Sie Thierry Coquand, der mit seinem Vorgesetzten Gerard Huet die Berechnung von Konstruktionen (Calculus of Constructions, CoC) vorstellte , die diese Probleme meistens löste: einen einheitlichen Ansatz für Beweise und Datentypen, ein leistungsfähiges (improvisatorisches) Grundsystem und die Fähigkeit, Konstruktionen zu definieren "der logischen oder mathematischen Vielfalt. Dies führte schließlich zu einer tatsächlichen Implementierung eines Systems, das als moderne Alternative zu Automath konzipiert wurde und in dem Coq- System gipfelte, das wir kennen und lieben.

Ich sehr empfehlen diese grundlegende Arbeit über CoC, als Thierry eine lächerliche Menge über die historische Entwicklung von Typ - Theorie kennt, und erklärt wahrscheinlich viel besser als ich Sie möchten vielleicht auch sein prüfen , Artikel auf Typentheorie, obwohl es nicht der Fall ist Erläutern Sie die CH-Korrespondenz ausführlich.