Wenn es bei der klassischen Berechnung aus Neugier um Permutationsmatrizen und beim Quantencomputing um Einheitsmatrizen geht (von denen die Permutationsmatrizen eine Untergruppe sind), gibt es dann ein Rechenparadigma, das über die Einheitsmatrizen hinausgeht?
Antworten:
Schaltungen, die aus allgemeinen linearen Operatoren bestehen, sind -vollständig. Siehe das PostBQP-Paper von Scott Aaronson oder Schuchs Paper über die Rechenleistung von PEPS und Tensornetzwerkkontraktion.
Rein mathematisch gesehen können Sie im Prinzip Berechnungsmodelle mit jeder Art von rekursiv zusammensetzbarer Struktur erstellen, sofern Sie beschreiben können, wie sie eine Transformation von geeignet dargestellten Eingabedaten in Ausgabedaten darstellen. Aber in einem angewandten mathematischen Sinn - oder genauer gesagt in einem tatsächlichen wissenschaftlichen Sinn - stellt sich die Frage, ob solche Berechnungsmodelle mit allem, was in der Praxis beobachtet wird, übereinstimmen ( dh gut modellieren) ( z. B. vielleicht, weil wir es in Maschinen beobachten, die für die Berechnungen konstruiert wurden). Wir sind zuversichtlich, dass Permutationsmatrizen und stochastische Matrizen, die aus Produkten auf lokalen Systemen bestehen, ein praktikables Berechnungsmodell für die Transformation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen darstellen. Grundsätzlich wird auch akzeptiert, dass einheitliche Transformationen von Wellenfunktionen der Einheit-2-Norm (ähnlich aufgebaut) als Berechnungsmodell nicht unangemessen sind; zu zeigen, dass es tatsächlich machbar ist, wird allgemein als (sehr herausforderndes!) technisches Problem akzeptiert.
Beide Berechnungsmodelle lassen sich in den Formalismus der CPTP-Superoperatoren (die lineare Operatoren auf spurschonende Weise auf andere lineare Operatoren abbilden und positiv-semidefinite Operatoren auf andere solche Operatoren robust abbilden) auffassen In gewisser Hinsicht lässt sich die Quantenberechnung besser beschreiben als durch einheitliche Transformationen oder nur durch Projektoren.
Ob es streng allgemeinere (im Sinne leistungsfähigerer) Berechnungsmodelle gibt, die dieselbe Art der Darstellung der Eingabe- und Ausgabedaten verwenden wie einheitliche Transformationen oder CPTP-Superoperatoren, ist im Wesentlichen eine Frage der theoretischen Physik.
Die Antwort lautet also "vielleicht - aber wir wissen es noch nicht und haben keine überzeugenden Gründe, an einen bestimmten zu glauben".