Gibt es eine bessere als lineare Untergrenze für Factoring und diskretes Log?

Gibt es Referenzen, die Details zu Schaltkreisuntergrenzen für bestimmte schwierige Probleme liefern, die in der Kryptographie auftreten, wie z. B. Integer Factoring, Prim / Composite Discrete Logarithm Problem und seine Variante über Punktgruppen elliptischer Kurven (und ihre höherdimensionalen abelschen Varietäten) und das Allgemeine verstecktes Untergruppenproblem?

Speziell hat eines dieser Probleme mehr als eine lineare Komplexitätsuntergrenze?

— vs
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Sie wissen natürlich, dass für <i> jede </ i> explizite Funktion keine niedrigere Grenze als 5n für die Schaltungskomplexität bekannt ist, nicht nur für die von Ihnen erwähnten. Sie sollten also die Frage angeben. Bessere Grenzen sind nur für eingeschränkte Schaltungen bekannt. Vielleicht finden Sie einige Teilantworten auf der Homepage von <a href=" web.science.mq.edu.au/~igor "rel="nofollow"> Igor Sparlinski. </a>

— Stasys

Nun, ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie unter "dieser interessanten Tatsache" verstehen. Wie der aktuelle Stand der Schaltungskomplexität aussieht, zeigt mein anstehendes Buch thi.informatik.uni-frankfurt.de/~jukna/BFC-book . Benutzer: Freund Passwort: catchthecat

— Stasys

@Stasys, ich erinnere mich, dass ein Student aus Russland vor zwei Jahren in der Prager Herbstschule über die untere Grenze der Form 7n + O (1) gesprochen hat, aber ich kann mich an keine weiteren Details erinnern.

— Kaveh

Kaveh, dies ist eine (7/3) nc Untergrenze, nicht 7n. Es wurde von Arist Kojevnikov und Sasha Kulikov aus Petersburg bewiesen. Der Vorteil ihres Beweises ist seine Einfachheit, nicht numerisch. Später gaben sie einen einfachen Beweis der 3n-o (1) -Untergrenze für allgemeine Schaltkreise (alle Fanin-2-Gatter sind erlaubt). Wenn auch für sehr komplizierte Funktionen - affine Dispergierer. Die Artikel sind online unter: logic.pdmi.ras.ru/~kulikov/papers . Tatsächlich wurde von Redkin (1973) fest gebundenes 7n-7 für die Paritätsfunktion gezeigt, jedoch nur, wenn nur NICHT- und UND-Gatter zulässig sind. Wenn auch ODER erlaubt ist, dann ist seine Grenze 4n-4 (auch eng!).

— Stasys

@StasysJukna: Eine Kombination Ihrer Kommentare ist als Antwort angemessen.

— Suresh Venkat

@ Suresh: Nach deinem Rat, hier ist meine "Antwort". Der Status der unteren Schaltkreisgrenzen ist ziemlich bedrückend. Hier sind die "aktuellen Rekorde":

$4n-4$ für Schaltkreise über und für Schaltkreise über und computing ; Redkin (1973). Diese Grenzen sind eng. $\{\land,\lor,\neg\}$ $7n-7$ $\{\land,\neg\}$ $\{\lor,\neg\}$ $\oplus_n(x)=x_1\oplus x_2\oplus\cdots\oplus x_n$
$5n-o(n)$ für Schaltungen über die Basis mit allen Fanin-2-Gattern mit Ausnahme der Parität und ihrer Negation; Iwama und Morizumi (2002).
$3n-o(n)$ für allgemeine Schaltungen über die Basis mit allen Fanin-2-Toren; Blum (1984). Arist Kojevnikov und Sasha Kulikov aus Petersburg haben einen einfacheren Beweis für eine Untergrenze gefunden. Der Vorteil ihres Beweises ist seine Einfachheit, nicht numerisch. Später gaben sie einen einfachen Beweis der -Untergrenze für allgemeine Schaltkreise (alle Fanin-2-Gatter sind erlaubt). Wenn auch für sehr komplizierte Funktionen - affine Dispergierer. Die Artikel sind hier online . $(7/3)n-o(1)$ $3n-o(1)$
$n^{3-o(1)}$ für Formeln über ; Hastad (1998). $\{\land,\lor,\neg\}$
$\Omega(n^2/\log n)$ für allgemeine Fanin- Formeln, für deterministische Verzweigungsprogramme und für nicht deterministische Verzweigungsprogramme; Nechiporuk (1966). $2$ $\Omega(n^2/\log^2 n)$ $\Omega(n^{3/2}/\log n)$

Also, Ihre Frage "Haben speziell diese Probleme mehr als eine lineare Komplexitätsuntergrenze?" bleibt weitestgehend offen (bei Stromkreisen). Mein Appell an alle jungen Forscher: Vorwärts, diese "Barrieren" sind nicht unzerbrechlich! Aber versuchen Sie, "unnatürlich" im Sinne von Rasborow und Ruditsch zu denken.

— Stasys
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Handelt es sich um Hastads Papier von 1998? nada.kth.se/~johanh/monotoneconnect.pdf Ich glaube nicht, dass die Bindung "nicht" beinhaltet. Außerdem ist der Exponent quadratisch.

— T ....

@JA: Nein, dies ist eine andere Veröffentlichung seines gleichen Jahres, J. Håstad, The Shrinkage Exponent is 2, SIAM Journal on Computing, 1998, Bd. 27, S. 48-64.

— Stasys

(3 + Ω (1)) n

$(3+\Omega(1))n$