Die Standardgleichungsregeln für den leeren Typ lauten , wie Sie vermuten, . Denken Sie an das standardmäßige satztheoretische Modell, bei dem Mengen nach Typen interpretiert werden: Summentypen sind disjunkte Vereinigungen, und der leere Typ ist die leere Menge. Also müssen auch zwei beliebige Funktionen e , e ' : Γ → 0 gleich sein, da sie einen gemeinsamen Graphen haben (nämlich den leeren Graphen). .Γ⊢e=e′:0e,e′:Γ→0
Der leere Typ hat keine Regeln, da es keine Einführungsformulare dafür gibt. Seine einzige Gleichungsregel ist ein ηβη Regel. Abhängig davon, wie streng Sie interpretieren möchten, was eine eta-Regel ist, möchten Sie diese möglicherweise in ein plus eine Pendelumwandlung aufteilen. Die strenge η- Regel lautet:ηη
e=initial(e)
Die Pendlerversicherung lautet:
C[initial(e)]=initial(e)
BEARBEITEN:
Deshalb impliziert die Verteilung beim Null-Typ die Gleichheit aller Abbildungen .A→0
Um die Notation zu korrigieren, schreiben wir , um die eindeutige Zuordnung von 0 zu A zu sein , und schreiben wir e : A → 0 , um eine Zuordnung von A zu 0 zu sein .!A:0→A0Ae:A→0A0
Nun sagt die Verteilbarkeit Bedingung , dass es ein Isomorphismus . Da ursprüngliche Objekte bis zum Isomorphismus eindeutig sind, bedeutet dies, dass A ×i:0≃A×0 selbst ein initiales Objekt ist. Damit können wir nun zeigen, dass A selbst ein Ausgangsobjekt ist.A×0A
Da ein Ausgangsobjekt ist, kennen wir die Abbildungen π 1 : A × 0 → A und ! EINA×0π1:A×0→A sind gleich.!A∘π2
Um zu zeigen, dass ein Ausgangsobjekt ist, müssen wir einen Isomorphismus zwischen A und 0 zeigen . Wählen wir e : A → 0 und ! A : 0 → A als Komponenten des Isomorphismus. Wir wollen zeigen, dass
e ∘ ! A = i d 0 und ! A ∘ e = i d A .A0e:A→0!A:0→Ae∘!A=id0!A∘e=idA
Zeigen, dass e∘!A=id0 ist unmittelbar, da es nur eine Karte vom Typ gibt und wir wissen, dass es immer eine Identitätskarte gibt.0→0
Um die andere Richtung zu zeigen, notiere
idA===π1∘(idA,e)!A∘π2∘(idA,e)!A∘eProduct equationsSince A×0 is initialProduct equations
Wir haben also einen Isomorphismus , und so ist A ein Ausgangsobjekt. Daher sind die Abbildungen A → 0 eindeutig. Wenn Sie also e , e 'haben : A → 0 , dann ist e = e ' .A≃0AA→0e,e′:A→0e=e′
EDIT 2: Es stellt sich heraus, dass die Situation schöner ist als ich ursprünglich dachte. Ich habe von Ulrich Bucholz gelernt, dass es offensichtlich ist (im mathematischen Sinne von "retrospektiv offensichtlich"), dass jedes biCCC distributiv ist. Hier ist ein süßer kleiner Beweis:
Hom((A+B)×C,(A+B)×C)≃≃≃≃≃Hom((A+B)×C,(A+B)×C)Hom((A+B),C→(A+B)×C)Hom(A,C→(A+B)×C)×Hom(B,C→(A+B)×C)Hom(A×C,(A+B)×C)×Hom(B×C,(A+B)×C)Hom((A×C)+(B×C),(A+B)×C)