Vielen Dank, Kaveh, dass Sie sich Kapitel über die Komplexität von Beweisen ansehen möchten!
In Bezug auf Robins Frage enthält zuerst diese Note Funktionen, die Formeln (und sogar Schaltkreise) der Größe n k für jede Konstante k erfordern . Dies folgt beispielsweise aus einer einfachen Tatsache, dass A C 0 alle DNFs mit konstant langen Monomen enthält. Somit enthält A C 0 mindestens exp ( n k ) verschiedene Funktionen für jedes k . Andererseits haben wir höchstens ungefähr exp ( t log n ) -Funktionen, die durch Formeln der Größe t berechenbar sindA C0 nkkA C0A C0exp( nk)kexp( t logn )t.
Ich habe kurz mit Igor Sergeev (von der Moskauer Universität) über die Frage diskutiert, wie man explizite untere Schranken von oder größer bekommt . Eine Möglichkeit könnte darin bestehen, die Methode von Andreev zu verwenden, diese jedoch auf eine andere, besser berechenbare Funktion anzuwenden, anstatt auf Parity. Das heißt, man betrachte eine Funktion von n Variablen der Form F ( X ) = f ( g ( X 1 ) , ... , g ( X b ) ), wobei b = log n und g eine Funktion in C istn2nF( X) = f( g( X1) , ... , g( Xb) )b = lognG von n / b Variablen; f ist eine der komplexesten Funktionen von b- Variablen (die bloße Existenz von f reicht aus). Wir brauchen nur, dass die Funktion g nicht im folgenden Sinne "getötet" werden kann: Wenn wir alleVariablenaußer k in X fixieren, muss es möglich sein, alle bis auf eine der verbleibenden Variablen von g zu fixieren,so dass die erhaltene Unterfunktion von g erhalten wird ist eine einzelne Variable. Dann Aufbringen Andreev Arguments und Hastad Ergebnis verwendetdass der schrumpfende Konstante ist mindestens 2 (nicht nur 3 / 2A C0n / bfbfGkXgg23/2wie zuvor von Sybbotovskaya gezeigt), wird die resultierende Untergrenze für ungefähr n 3 / k 2 sein . Natürlich wissen wir, dass jede Funktion in A C 0 beendet werden kann , indem alle Variablen außer n 1 / d für eine Konstante d ≥ 2 festgelegt werden . Aber um eine n 2 untere Grenze es ausreichen würde , eine explizite Funktion in finden A C 0 , die nicht von allen Befestigungs getötet werden kann , sondern, sagen wir, n 1 / 2F(X)n3/k2AC0 n1/dd≥2n2AC0n1/2Variablen. Man sollte nach einer solchen Funktion in einer Tiefe suchen, die größer als zwei ist.
Tatsächlich kann man für die Funktion wie oben durch einfaches gieriges Argument, kein Nechiporuk, keine Subbotovskaya und keine zufälligen Beschränkungen untere Grenzen um n 2 / log n erhalten ! Hierzu reicht es lediglich aus, dass die "innere Funktion" g (Y) nicht trivial ist (hängt von all ihrem n / b ab)F(X)n2/lognn/b Variablen). Darüber hinaus gilt die Grenze für jede Basis konstanter Fan-Gates, nicht nur für De Morgan-Formeln.
Beweis: Ausgehend von einer Formel für mit s Blättern wählen Sie in jedem Block X i eine Variable aus, die am seltensten als Blatt vorkommt. Setzen Sie dann alle verbleibenden Variablen auf die entsprechenden Konstanten, sodass jedes g ( X i ) zu einer Variablen oder ihrer Negation wird. Die erhaltene Formel ist dann mindestens n / b- mal kleiner als die ursprüngliche Formel. Somit ist s mindestens n / b = n / log nF(X)sXig(Xi)n/bsn/b=n/lognmal die Formelgröße von f , dh s ≥ n 2 - o ( 1 )2b/logb=n/loglognfs≥n2−o(1) . QED
Um oder mehr zu erhalten, muss man den Subbotovskaya-Hastad-Schrumpfeffekt unter zufälligen Einschränkungen einbeziehen. Ein möglicher Kandidat könnte eine Version der Sipser-Funktion sein, die von Hastad verwendet wird, um zu zeigen, dass Tiefen- ( d + 1 ) -Schaltungen leistungsfähiger sind als jene der Tiefe d .n2(d+1)d