Warum ist es für einen Computer so schwierig, etwas zu beweisen?

Dies kann als dumme Frage angesehen werden. Ich bin kein Hauptfach Informatik (und ich bin auch noch kein Hauptfach Mathematik). Entschuldigen Sie mich, wenn Sie der Meinung sind, dass die folgenden Fragen einige wichtige falsche Annahmen enthalten.

Obwohl es Pläne gibt, Fermats letzten Satz zu formalisieren (siehe diese Präsentation ), habe ich noch nie gelesen oder gehört, dass ein Computer sogar einen "einfachen" Satz wie den von Pythagoras beweisen kann.

Warum nicht? Was ist (sind) die Hauptschwierigkeit (en) bei der Erstellung eines vollständig autonomen Beweises durch einen Computer, der nur von einigen "eingebauten Axiomen" unterstützt wird?

Eine zweite Frage, die ich stellen möchte, ist die folgende: Warum können wir viele Beweise formalisieren, während es derzeit für einen Computer unmöglich ist, einen Satz allein zu beweisen? Warum ist das "schwerer"?

automated-theorem-proving

— Max Müller
quelle

Zwei Hauptschwierigkeiten. Unvollständigkeit (siehe Gödels Theoreme) und die enorme Größe des Suchraums (es gibt weitaus uninteressantere Theoreme als interessante). Mit Proof-Assistenten (Coq, Isabelle, Agda usw.) wurden beachtliche Fortschritte erzielt. Mit diesen schreibt der Mathematiker die Theoreme und Lemmata und der Beweisassistent hilft bei der Suche nach Beweisen und stellt sicher, dass die Beweise logisch gültig sind.

— Dave Clarke

@ Dave Clarke: ok, also eigentlich Sie sagen , dass ein Computer ist zu beweisen (neu) Theoreme der Lage, aber die überwiegende Menge der möglichen Suche macht es schwer für ihn / sie / es einen Satz zu schreiben , die irgendeinen Wert hat oder ist interessant, habe ich recht? Könnten Sie bitte erklären, warum Gödels Theoreme und "Unvollständigkeit" hier relevant sind? Haben Sie außerdem eine Referenz zu einem Forschungsbericht oder einem Umfrageartikel, in dem nachgewiesen wird, dass ein Computer tatsächlich einen Satz beweist? Schließlich gibt es eine Menge Forschung in dem Versuch, Computer Theoreme beweisen zu lassen? Wie heißt dieses Forschungsgebiet (Fortsetzung ...)

— Max Müller

und kennst du gutes einleitungsmaterial dazu? Was sind die Grundvoraussetzungen in beiden Bereichen der Mathematik, insbesondere der Informatik, um dieses Material tatsächlich zu verstehen?

— Max Müller

Vielleicht interessieren Sie sich auch für einige Arbeiten von Dorian Zeilberger, wie " Dem Computer beibringen, wie man (!) Entdeckt und dann beweist (!!) (ganz alleine (!!!)) Analoga von Collatzs berüchtigter 3x + 1-Vermutung " ( math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/collatz.html ). Zeilbergers häufiger Mitautor, Shalosh B. Ekhad, ist ein Computer.

— Rob Simmons

Die folgende Frage gibt auch einige schöne Beispiele für Computer, die dabei helfen, Theoreme zu beweisen: cstheory.stackexchange.com/questions/82/…

— Mugizi Rwebangira

Antworten:

Obwohl es Pläne gibt, Fermats letzten Satz zu formalisieren (siehe diese Präsentation), habe ich noch nie gelesen oder gehört, dass ein Computer sogar einen "einfachen" Satz wie den von Pythagoras beweisen kann.

1949 bewies Tarski, dass fast alles in The Elements in einem entscheidbaren Fragment der Logik liegt, als er die Entscheidbarkeit der Theorie erster Ordnung von realen geschlossenen Feldern zeigte. Daher wird insbesondere über den Satz von Pythagoras nicht viel geredet, weil er nicht besonders schwer ist.

$A$ $A$

$A$ $B$ $A$

— Neel Krishnaswami
quelle

Zwei Hauptschwierigkeiten. Unvollständigkeit (siehe Gödels Unvollständigkeitssätze) und die enorme Größe des Suchraums (es gibt weitaus uninteressantere Sätze als interessante). Mit Proof-Assistenten ( Coq , Isabelle, Agda usw.) wurden beachtliche Fortschritte erzielt. Mit diesen schreibt der Mathematiker die Theoreme und Lemmata und der Beweisassistent hilft bei der Suche nach Beweisen und stellt sicher, dass die Beweise logisch gültig sind.

$P$ $Q$ $P\wedge Q$

Dieses Papier beschreibt , wie der Beweis Assistent wird Coq verwendet , um den Vierfarbensatz zu beweisen. Mechanisierte Mathematik ( Übersicht ) ist ein Bereich des TCS, der sich der (halb-) automatischen Bewährung von Theoremen widmet (und im Allgemeinen Computer verwendet, um Mathematikern zu helfen).

Ein Bereich, in dem sich automatisierte Theorembeweise (von Art) auswirken, ist die Modellprüfung und Modellfindung. Die Modellprüfung befasst sich mit der Bestimmung, ob ein bestimmtes System eine bestimmte Eigenschaft erfüllt, während die Modellfindung ein System findet, das eine bestimmte Sammlung von Eigenschaften erfüllt. Das Tool Alloy verwendet Modellprüfungen und Modellfindung, um eine gute Wirkung zu erzielen, und es ist durchaus verwendbar.

— Dave Clarke
quelle

Ich konnte nicht zwischen diesen beiden Antworten wählen, weil sie beide großartig sind. Ich warf eine Münze, um mich für eine zu entscheiden. Es tut mir leid, dass ich deine nicht ausgewählt habe! Trotzdem vielen Dank.

— Max Müller

Du gewinnst etwas, du verlierst etwas.

— Dave Clarke

Eine weniger technische, mathematischere Darstellung des Vierfarben-Proofs und seiner Bedeutung wurde kürzlich in einer AMS-Mitteilungsausgabe veröffentlicht (die gesamte Ausgabe könnte für Personen, die an der Frage des OP interessiert sind, als Lektüre empfehlenswert erscheinen).

— Huitseeker