Eine monotone CNF-Formel mit m Termen für n Variablen ( ) ist eine Formel der Form , wobei jedes ein ODER einer Teilmenge der Variablen ist und reichen von bis .
Zum Beispiel ist eine monotone CNF-Formel mit 2 Termen auf 4 Variablen.
Ich suche nach der kürzesten Formel (nicht unbedingt monoton, nicht unbedingt CNF, jede Formel reicht aus!) Für denselben Variablensatz, der dieselbe Funktion wie eine bestimmte monotone CNF-Formel für n Variablen mit n Begriffen darstellt. (Beachten Sie, dass die Anzahl der Begriffe und Variablen gleich ist.)
Eine naheliegende Möglichkeit, eine Formel zu konstruieren, besteht darin, die gegebene CNF-Definition zu erweitern, wodurch wir eine Formel der Größe . (Definieren wir die Größe einer Formel als die Länge der Formel, wenn sie als Zeichenfolge geschrieben wird.) Ich möchte wissen, ob dies die effizienteste allgemeine Konstruktion ist oder ob für jeden monotonen n-Term-CNF eine Formel existiert der Größe .
Ich möchte nur wissen, ob dies möglich ist, ich bin nicht wirklich an einem Algorithmus interessiert. Wenn dies nicht möglich ist, wäre eine Funktion, die als Gegenbeispiel dient, großartig. Hinweise, auf die ich in der Literatur eine Antwort finden kann, sind ebenfalls willkommen.
EDIT: Ich füge ein Beispiel hinzu, um die Ausdünnung klarer zu machen.
Angenommen, die Eingabeformel lautet . Dies ist eine monotone CNF-Formel. Eine kürzere Formel, die dieselbe Funktion darstellt, lautet wie folgt: .