Wie David ausführte, fordern Sie im Grunde genommen Schranken für die Baumbreite eines zusammenhängenden Graphen mit Durchschnittsgrad 3 an. Für den spezielleren Fall von 3-regulären Graphen können die folgenden unteren und oberen Schranken erhalten werden. Wenn man die Wegbreite eines Graphen G mit pw (G) bezeichnet, ist das klar
(1) tw (G) <= pw (G) für jeden Graphen G (da eine Pfadzerlegung eine Baumzerlegung ist)
Es ist in [1] bewiesen, dass
(2) Für jedes \ epsilon> 0 existiert eine ganze Zahl n_0, so dass für jeden 3-regulären Graphen G auf n> = n_0 Eckpunkten pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n gilt.
Dies gibt Ihnen eine Obergrenze von ungefähr n / 6 auf der Breite von 3-regulären Graphen.
Für eine fast sichere Untergrenze zitiere ich aus [2]:
"Da zufällige kubische Graphen mit ziemlicher Sicherheit eine Halbierungsbreite von mindestens 0,101 n haben (Kostochka, Melnikov, 1992), haben sie mit ziemlicher Sicherheit kein Trennzeichen mit einer Größe von weniger als n / 20" und somit mit ziemlicher Sicherheit keine Baumzerlegung mit einer Breite von weniger als n / 20 .
Für eine "sichere" Untergrenze der Halbierungsbreite zeigte [3] eine unendliche Familie von 3-regulären Graphen, so dass jeder Graph G = (V, E) in dieser Familie eine Halbierungsbreite von mindestens 0,082 * | V | aufweist.
[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: Pfadbreite von kubischen Graphen und exakten Algorithmen. Inf. Prozess. Lette. 97 (5): 191-196 (2006)
Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Grad und Klassen mit begrenzter Expansion II. Algorithmische Aspekte. EUR. J. Comb. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Sergej L. Bezrukow, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: Neue spektrale Untergrenzen für die Halbierungsbreite von Graphen. Theor. Comput. Sci. 320 (2-3): 155-174 (2004)