Wie intrinsisch ist der Term

Ein -net für einen Bereichsraum ist eine Teilmenge N von X, so dass N \ cap R für alle R \ in \ mathcal {R} nicht leer ist, so dass | X \ cap R | \ ge \ varepsilon | X | .$\varepsilon$$(X,\mathcal{R})$$N$$X$$N\cap R$$R\in \mathcal{R}$$|X\cap R| \ge \varepsilon |X|$

Bei einem Bereichsraum $(X,R)$ der VC-Dimension $d$ ist ein $\varepsilon$ Netz der Größe $O\left(\frac{d}{\varepsilon}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)$ kann in der Zeit O (d) ^ {3d} \ left (\ frac {1} {\ varepsilon ^ 2} \ log \ left (\ frac {d} {\ varepsilon} \ right) \ berechnet werden rechts) ^ d | X | $O(d)^{3d}\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)^d|X|$(siehe [1], Thm 4.6).

Inwieweit ist der Begriff $O(d)^{3d}$ diesem Problem eigen? Kann es speziell auf 2 ^ {O (d)} verbessert werden $2^{O(d)}$? Sind Untergrenzen bekannt?

Eine verwandte Frage: Gibt es allgemeine Bedingungen für $(X,R)$ für die eine solche Verbesserung bekannt ist?

[1] Bernard Chazelle. Die Diskrepanzmethode. 2000.

Wenn Sie mit einem randomisierten Algorithmus einverstanden sind, können Sie einfach zufällig Punkteabtasten, und dies ist ein ϵ- Netz mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 - δ . $O((d/\epsilon) \log (d/\epsilon \delta))$$\epsilon$$1-\delta$

Für den deterministischen Algorithmus glaube ich, dass der -Term aus folgendem Grund stammt. Sie partitionieren zuerst Ihren vollständigen Satz in Teilmengen mit einer Größe von etwa s = O ( ( d / ϵ ) log ( d / ϵ ) ), wobei s die Größe des ϵ- Netzes ist, das Sie am Ende erhalten möchten. Dann führen Sie zwei solcher Teilmengen zusammen und reduzieren sie auf die Hälfte dieser Größe. (Grundsätzlich wird dies wiederholt, bis ein Satz übrig ist.) Der Reduktionsschritt berücksichtigt im Wesentlichen alle interessanten Bereiche des zusammengeführten Satzes der Größe 2 $d^{O(d)}$$s = O((d/\epsilon) \log (d/\epsilon))$$s$$\epsilon$$2s$. Durch VC-Grenzen gibt es ungefähr Bereiche, und Sie müssen jeden dieser Bereiche "überprüfen", um festzustellen, ob er getroffen wurde. Das s d hat ein d O ( d ) . Das d im s- Term wird benötigt. Um diese Grenze unter Verwendung dieses deterministischen Rahmens zu verringern, müssten Sie irgendwie alle Bereiche implizit "überprüfen", ohne sie explizit aufzuzählen. Dies scheint deterministisch schwierig zu sein, aber ich bin nicht sicher, ob ich eine explizite Untergrenze kenne - die meisten Arbeiten in diesem Bereich gehen davon aus, dass d konstant ist, und missbrauchen dies stark. $O((2s)^d)$$s^d$$d^{O(d)}$$d$$s$$d$