Beispiele, in denen Einblicke aus der Geometrie nützlich waren, um etwas völlig Nicht-Geometrisches zu lösen

Das Schöne an der Entwicklung in einem Universum mit drei räumlichen Dimensionen ist, dass wir Problemlösungsfähigkeiten für Objekte im Raum entwickelt haben. So können wir uns zum Beispiel ein Triplett von Zahlen als einen Punkt in 3D vorstellen und daher eine Berechnung über Tripletts von Zahlen als eine Berechnung über Punkte in 3D, die dann unter Verwendung unserer Intuition über den Raum gelöst werden kann. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass es manchmal möglich sein sollte, ein völlig nicht geometrisches Problem mit Techniken aus der Geometrie zu lösen. Kennt jemand solche Beispiele?

Natürlich sind die Begriffe "geometrisch" und "nicht geometrisch" hier etwas vage. Man kann argumentieren, dass jedes geometrische Problem tatsächlich nicht geometrisch ist, wenn Sie alle Punkte durch ihre Koordinaten ersetzen. Aber intuitiv ist die Definition klar. Sagen wir einfach, wir nennen etwas Geometrisches, wenn wir in Betracht ziehen würden, ein Papier darüber an SoCG zu senden.

Noch ein paar Beispiele:

Sleator, Thurston und Tarjan verwendeten eine geometrische Darstellung von Bäumen als Teilung von Polygonen und eine hyperbolische Geometrie, um untere Grenzen für die binäre Baumrotation zu beweisen . (Ich glaube auch, dass die Geschichte eines dynamischen binären Suchbaums als Tetraederisierung dargestellt werden kann.)

Die Reduktion der am wenigsten verbreiteten Vorfahren auf Bereichsminimum-Abfragen aufgrund von Berkman und Vishkin bringt ein Datenstrukturproblem bei Bäumen mit einem wohl geometrischen Problem in Beziehung. (und danke für den Artikel David)

Die Reduzierung eines Planungsproblems auf die maximale Gewichtung einer unabhängigen Menge achsparalleler Rechtecke [1] oder die Reduzierung eines anderen Planungsproblems auf die geometrische Mengenabdeckung [2] könnte in Frage kommen.

Die Reduzierung des größten häufigen Folgeproblems auf das Auffinden von Maxima-Schichten ist allgemein bekannt (das heißt, ich bin zu faul, um nachzuschlagen, wer tatsächlich darüber nachgedacht hat).

[1] (Liane Lewin-Eytan, Joseph Seffi Naor und Ariel Orda)

[2] Nikhil Bansal, Kirk Pruhs. Die Geometrie der Planung, FOCS 2010.

[spätere Bearbeitung] Einige weitere Fälle, in denen eine "geometrische" Ansicht überraschend erschien (obwohl die Standards "Einreichung bei SoCG" oder "etwas zum Visualisieren" wahrscheinlich nicht erfüllt sind):

Algebraische Topologie, die auf untere Grenzen für verteiltes Computing angewendet wird

Einbeziehung der Berechenbarkeit in die Hausdorff-Dimension

Definieren eines Begriffs von Abstand für Gruppen, dann Volumen, dann Volumenwachstum als Funktion von Abstand, dann Verwenden von "Polynomwachstum"

$\ell_1$

Diese wurden auch woanders erwähnt, aber ein Beispiel, das mir gefällt, ist folgendes: Das Sortieren mit Teilinformationen ist das Problem, eine festgelegte unbekannte lineare Erweiterung eines Posets zu finden, wenn man das Poset zugrunde legt und die Anzahl der Vergleichsabfragen so nah wie möglich an der Informationstheorie verwendet Untergrenze (dies ist nur eine Sortierung, wenn die Anzahl der Vergleiche das Maß für die kritische Komplexität ist und einige Vergleiche kostenlos sind). Die Existenz optimaler (bis zu konstanter) Vergleichsstrategien wurde von Saks und Kahn anhand der Eigenschaften des Ordnungspolytops, eines speziellen mit einem Poset verbundenen Polytops, nachgewiesen (eine großartige Darstellung finden Sie in Matouseks Lectures on Discrete Geometry-Buch). Der erste polynomielle Zeitalgorithmus (von Kahn und Kim), die eine optimale (bis zu einer konstanten) Vergleichsstrategie berechnet, verwendete wiederum die Eigenschaften des Ordnungspolytops sowie das stabile Mengenpolytop des Inkomparabilitätsgraphen des Eingabeposets.

Es gibt eine relativ neue Veröffentlichung von Demaine et al. , Die eine geometrische Darstellung von binären Suchbäumen verwendet, um den Stand der Technik in Bezug auf dynamische Optimalität voranzutreiben. Ich bin hier etwas vage, weil sie die DO-Vermutung nicht auflösen: Sie verstärken jedoch einige Grenzen und geben neue Erkenntnisse, die aus der geometrischen Formulierung zu stammen scheinen.

Ich glaube nicht, dass es Beispiele für solche Dinge gibt. Mit Ausnahme der linearen Programmierung, der semidefiniten Programmierung, der komplexen Zahlen, der großen Bruchteile des maschinellen Lernens usw. lautet die eigentliche Frage http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso .

Bei POPL gab es letztes Jahr einen guten Artikel, EigenCFA: Accelerating Flow Analysis mit GPUs , die Lambda-Terme als Matrizen darstellten und dann GPUs verwendeten, um Datenflussanalysen auf diesen schnell durchzuführen.

Das Papier wies nicht explizit darauf hin, aber im Grunde nutzten sie die kategoriale Struktur von Vektorräumen, um Bäume darzustellen. Das heißt, in der gewöhnlichen Mengenlehre ist ein Baum (von fester Höhe) eine verschachtelte disjunkte Vereinigung von kartesischen Produkten.

Vektorräume haben jedoch auch direkte Produkte und Summen, sodass Sie einen Baum auch als Element eines geeigneten Vektorraums darstellen können. Darüber hinaus fallen direkte Produkte und direkte Summen für Vektorräume zusammen - dh sie haben die gleiche Darstellung. Dies öffnet die Tür für parallele Implementierungen: Da die physischen Darstellungen gleich sind, können viele Verzweigungen und Verfolgungsjagden vermieden werden.

Es erklärt auch, warum die Datenflussanalyse kubische Zeit ist: Sie berechnet Eigenvektoren!

In Netzwerken verwenden Router TCAMs (ternäre inhaltsadressierbare Speicher, d. H. Inhaltsadressierbare Speicher, denen es egal ist), um den Datenverkehr zu klassifizieren. Einträge in einem TCAM sind häufig mehrdimensionale Präfix-Übereinstimmungsregeln: Beispielsweise stimmt (101 *, 11 *, 0 *) mit jedem Paket überein, bei dem das erste Header-Feld mit 101 beginnt und das zweite Header-Feld mit 11 (und usw.) beginnt Ein Paket entspricht nicht der ersten Regel, sondern der zweiten usw., bis eine übereinstimmende Regel gefunden wird.

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

Für die Vernetzung von Menschen ist diese Interpretation hilfreich, um zu verstehen, was ein bestimmter Satz von Regeln bewirkt. Für Theoretiker gibt es andere interessante Verwendungen. Gemäß den Algorithmen zur Paketklassifizierung von Gupta und McKeown konnten wir durch die geometrische Interpretation schnell die unteren und oberen Grenzen für das Problem der Paketklassifizierung festlegen. Ich weiß, dass die Arbeit an der TCAM-Regelminimierung (Ermittlung der kleinsten Anzahl von Regeln, die die Semantik bewahren) auch von einem geometrischen Ansatz profitiert hat. Es gibt Unmengen von Referenzen , die ich für diese geben könnte, aber derjenige, der zu Ihnen der meisten Nutzen sein kann , ist Applegate, et al. 'S SODA 2007 Papier geradlinige Bilder komprimieren und minimiert Zugriffskontrolllisten. Sie beweisen, dass das Minimieren einer allgemeineren Variante der obigen Präfix-Matching-Regeln NP-schwer ist, und verbinden Sie sie (erneut) mit hübschen Bildern von Rechtecken, um das Problem zu lösen!

Ich bin überrascht, dass niemand den euklidischen Algorithmus zur Ermittlung des größten gemeinsamen Faktors zwischen zwei Zahlen genannt hat. Sie können das Problem lösen, indem Sie ein Achsrechteck zeichnen und das Rechteck durch das Quadrat der kleinsten Seite unterteilen. Wiederholen Sie dies für das übrig gebliebene Rechteck animiertes GIF auf der Seite Euklidischer Algorithmus).

Eine ziemlich elegante Art herauszufinden, wie das Ding funktioniert, IMO.

Wahrscheinlich gibt es zu viele Beispiele, um sie aufzulisten, aber ein klassisches Beispiel (von Aigner und Ziegler als " Beweis aus dem Buch " hervorgehoben) ist die Verwendung einer geometrischen Darstellung durch Lovász zur Lösung eines Problems in Shannon-Kapazität. Obwohl der Beweis 1979 veröffentlicht wurde und eine offene Frage aus dem Jahr 1956 löste, ist er nach wie vor auf dem neuesten Stand der Technik.

Beziehung von Fehlerkorrekturcodes zu Gittern, Kugelpackungen usw. (z. B. Conway- und Sloane-Buch). Dennoch ist die Beziehung so stark, dass es nicht ganz klar ist, ob ich danach Fehlerkorrekturcodes "ganz und gar nicht geometrisch" nennen soll ...

Gitterreduktionstechniken wie LLL oder PSLQ sind hochgradig geometrisch und lösen Probleme der reinen Zahlentheorie wie die lineare diophantinische Approximation und die Erkennung ganzzahliger Beziehungen.

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Gerard Salton hatte die Idee, den Cosinus des Winkels zwischen Vektoren (Cosinus-Ähnlichkeit) für Information Retrieval-Systeme zu verwenden. Dies wurde verwendet, um die Häufigkeit des Begriffs - Inverse Beleghäufigkeit zu berechnen . Ich halte dies für den Vorgänger moderner Suchmaschinen. Siehe auch Vektorraummodell.

$k$$k$

Natürlich ist der Beweis mehr topologisch als geometrisch, aber in geringen Dimensionen hat er ein klares geometrisches Bild. Es gibt meines Wissens keinen rein kombinatorischen Beweis (dh einen Beweis, den Sie einer Person erklären können, die sich weigert, etwas über die Topologie zu hören).

Die Rolle raumfüllender Kurven in Datenbanken und bei der Optimierung: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

Support-Vektor-Maschine im maschinellen Lernen qualifiziert sich wahrscheinlich.

Es gibt rechnergestützte Geometrietechniken zur Lösung der linearen Programmierung. Computergeometrie: Algorithmen und Anwendungen haben dazu ein schönes und einfaches Kapitel.

Ein bestimmtes Integral einer Funktion kann als der vorzeichenbehaftete Bereich des Bereichs dargestellt werden, der durch das Diagramm begrenzt wird.