Modulare Zerlegung und Clique-Breite

Ich versuche einige Konzepte über modulare Zerlegung und Clique-Width- Graphen zu verstehen .

In diesem Artikel ("On P4-tidy graphs") wird gezeigt, wie Optimierungsprobleme wie Clique-Number oder Chromatic-Number mit Modular Decomposition gelöst werden können. Das Lösen dieser Probleme durch Zusammensetzen (unter Verwendung einer disjunkten Summe oder einer disjunkten Vereinigung) zweier Graphen G1, G2 ist einfach, wenn Sie die Antwort für G1 und G2 kennen. Da die Prim-Graphen zur Zerlegung von P4-Ordnungsgraphen begrenzte Graphen sind (dh C5, P5 usw.), Ist es einfach, sie für diesen "Basisfall" und dann für Kompositionen zu lösen. Daher ist es unter Verwendung des Zerlegungsbaums möglich, diese Probleme in linearer Zeit zu lösen.

Es scheint jedoch, dass diese Technik mit jeder Grafikklasse funktioniert, bei der die Grafikprimzahlen begrenzt sind. Dann fand ich diese Arbeit "Lineare zeitlösbare Optimierungsprobleme bei Graphen mit begrenzter Cliquenbreite", die die von mir gesuchte Verallgemeinerung zu sein scheint, aber ich konnte sie nicht sehr gut verstehen.

Meine Frage ist:

1- Ist es äquivalent zu sagen, dass Prim-Graphen des Zerlegungsbaums begrenzt sind (wie im Fall von P4-ordentlichen Graphen) und dass ein Graph die Eigenschaft "Clique-Width" begrenzt hat?

2- Wenn die Antwort für 1 NEIN ist, dann: Gibt es ein Ergebnis über Klassen von Graphen mit begrenzten Primzahlen (wie in P4-ordentlichen Graphen) und damit Optimierungsprobleme wie die nach linearer Zeit lösbare Cliquenzahl für alle diese Klassen ?

Einen Einführungstext zur Clique-Breite (kurz CWD) finden Sie hier: Obergrenzen der Clique-Breite von Graphen (B. Courcelle und S. Olariu, DAM 101). Neuere Ergebnisse finden Sie in dieser Umfrage: Jüngste Entwicklungen bei Graphen mit begrenzter Cliquenbreite (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009))

Cwd ist ein Komplexitätsmaß, das auf Diagrammoperationen basiert, die die Wortverkettung verallgemeinern. Unendlich zählbare Graphen können cwd begrenzt haben. Sie werden sagen, dass eine Menge (möglicherweise unendlich) von Graphen (endlich oder zählbar) cwd begrenzt hat, wenn es eine Konstante k gibt, sodass jeder Graph in dieser Menge höchstens cwd k hat. Beispielsweise haben vollständige Graphen cwd 2, erbliche Distanzgraphen cwd höchstens 3, ...

1) Der Zusammenhang zwischen cwd und modular-dec ist folgender: cwd (G) = max {cwd (H) | H prime im modularen Dez von G}. Daher kann man sagen, dass cwd die Tatsache verallgemeinert, dass "Prime Graphs eine begrenzte Größe haben". Sie können Diagramme mit Prime-Diagrammen von unbegrenzter Größe, aber mit beschränktem cwd haben.

2) Wenn die Größe von Prim-Graphen begrenzt ist, ist der cwd begrenzt. Die Ergebnisse in dem von Ihnen zitierten Artikel besagen, dass jedes in MSOL ausdrückbare Problem in Diagrammklassen von beschränktem cwd effizient gelöst werden kann. Diese Reihe von Problemen umfasst viele NP-vollständige Probleme: Cliquenzahl, stabile Zahl, 3-Färbbarkeit, ...

Einige algorithmische Aspekte der modularen Zerlegung werden hier untersucht "Ein Überblick über die algorithmischen Aspekte der modularen Zerlegung" (M. Habib und C. Paul, Computer Science Review 4 (1): 41-59 (2010)).