Die Existenz von Planar Distance Preserver?


14

Sei G ein ungerichteter Graph mit n Knoten und sei T eine Knotenuntermenge von V (G), die Terminals genannt wird . Ein Entfernungsbewahrer von (G, T) ist ein Graph H, der die Eigenschaft erfüllt

dH(u,v)=dG(u,v)

für alle Knoten u, v in T. (Beachten Sie, dass H NICHT unbedingt ein Teilgraph von G ist.)

Zum Beispiel sei G der folgende Graph (a) und T die Knoten auf der Außenseite. Dann ist Graph (b) ein Distanzbewahrer von (G, T).

Bildbeschreibung hier eingeben

Distanzspeicher mit verschiedenen Parametern sind bekannt. Ich interessiere mich besonders für die mit den folgenden Eigenschaften:

  1. G ist planar und ungewichtet (dh alle Kanten von G haben Gewicht eins),
  2. T hat die Größe undO(n0.5)
  3. H hat die Größe (die Anzahl der Knoten und Kanten) . (Es wäre schön, wenn wir O ( n) hätteno(n).)O(nloglogn)

Gibt es einen solchen Distanzhalter?

Wenn man die oben genannten Eigenschaften nicht erfüllen kann, ist jede Art von Entspannung willkommen.


Verweise:

Distance Preserver wird auch als Emulator bezeichnet . Viele verwandte Arbeiten finden Sie im Internet, indem Sie nach dem Begriff spanner suchen , für den H ein Teilgraph von G sein muss. In meinen Anwendungen können wir jedoch auch andere Graphen verwenden, sofern H die Abstände zwischen T in G beibehält.


−1 für die Verwendung von JPEG für diese Art von Figur! (nur Spaß, aber PNG ist in der Regel viel besser in Bildqualität und Dateigröße für einfache Zahlen)
Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Danke für die nützlichen Tipps! Ich wusste das nicht :)
Hsien-Chih Chang 張顯 張顯

Antworten:


4

Viele Jahre später scheint OP endlich seine eigene Frage beantwortet zu haben: Nahezu optimaler Entfernungsemulator für planare Graphen von Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes und Oren Weimann wurde gerade auf arxiv veröffentlicht.

O~(Mindest{t2,tn})|T|=:tÖ~(n3/4)Ö~(n)

(Weniger formal finde ich dieses Ergebnis wirklich erstaunlich. Herzlichen Glückwunsch!)


1
Vielen Dank an @GMB für die Veröffentlichung als Antwort. Ein kleiner Haken dabei ist, dass der Erhalter gerichtet ist ; Es ist eine offene Frage, ob ein ungerichteter (aber immer noch nicht notwendigerweise planarer) Emulator mit sublinearer Größe existiert. Aber es ist ziemlich befriedigend, nach all den Jahren endlich die Antwort auf eine alte Frage zu wissen :)
Hsien-Chih Chang 張顯 張顯

2

Vielleicht möchten Sie sich Kleins Schlüssel für planare Teilmengen ansehen, der Entfernungen bis zu einem Faktor von 1 + epsilon beibehält.

Ein Teilmengenschlüssel für ebene Graphen mit Anwendung auf die Teilmenge TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620


Danke, ich habe die Zeitung gelesen und es gibt eine Lücke zwischen seiner Konstruktion und unseren Anforderungen. Es sieht so aus, als würde ein Schraubenschlüssel nicht funktionieren, solange er ein Teil des Originalgraphen ist. man kann ein Gitterdiagramm als Gegenbeispiel nehmen. Es gibt jedoch Emulatoren für die Gittergraphen.
Hsien-Chih Chang 張顯 張顯

eine andere bauidee, vielleicht klappt es? 1) Wende rekursiv Trennzeichen mit kürzestem Pfad an (Thorup, FOCS'01). 2) EPS-Abdeckung für jeden Scheitelpunkt. eps), Verbindung zu einer Gesamtzahl von höchstens sqrt {n} * log n-Pfaden und 1 / eps-mal mehr Portalen sqrt {n} * log n Ecken und Kanten (bis zu eps) und repräsentieren 1 + eps kürzeste Wege für genaue Entfernungen, die ich nicht kenne ...
Christian Sommer
Durch die Nutzung unserer Website bestätigen Sie, dass Sie unsere Cookie-Richtlinie und Datenschutzrichtlinie gelesen und verstanden haben.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.