Ergebnisse in Theoretischen CS unabhängig von ZFC


37

Ich werde eine ziemlich vage Frage stellen, da die Grenze zwischen theoretischer Informatik und Mathematik nicht immer leicht zu unterscheiden ist.

FRAGE: Ist Ihnen ein interessantes Ergebnis in CS bekannt, das entweder unabhängig von ZFC (dh von der Standardsatztheorie) ist oder das ursprünglich in ZFC (+ ein anderes Axiom) und erst später in ZFC alorne nachgewiesen wurde?

Ich frage, weil ich kurz vor dem Abschluss meiner Doktorarbeit stehe und mein Hauptergebnis (die Bestimmbarkeit einer Klasse von Spielen, die verwendet werden, um einem probabilistischen modalen Kalkül eine " Spielsemantik " zu verleihen) im Moment bewiesen ist in ZFC erweitert mit anderen Axiomen (nämlich die Negation der Kontinuumshypothese und Martins Axiom ).μM A¬CHMA

Die Einstellung ist also eindeutig Informatik (der modale Kalkül ist eine zeitliche Logik und ich erweitere ihn, um mit probabilistischen Systemen zu arbeiten).μ

Ich möchte in meiner Diplomarbeit andere Beispiele dieser Art anführen (falls Ihnen bekannt ist).

Danke im Voraus,

Tschüss

Matteo



9
Ich wollte antworten, dass Matteo Mio und Alex Simpson Martins Axiom benutzten, um sehr interessante Ergebnisse zu beweisen ...
Andrej Bauer

7
Dies ist vielleicht das beste Beispiel für eine Frage, deren beste Antwort in der Frage selbst enthalten ist! Ihr sehr interessantes Ergebnis war mir nicht bekannt.
Timothy Chow

Antworten:


19

Obwohl mir keine anderen Ergebnisse als Ihre bekannt sind, können Sie den Anwendungsbereich meines Erachtens etwas erweitern und fragen: Welche Ergebnisse in TCS wurden mit (jeder Art von) nicht standardmäßigen Axiomen bewiesen? Mit Nicht-Standard meine ich hier etwas anderes als klassische Logik mit ZF (oder ZFC).

Ein schönes Beispiel für die Art von Arbeit, an die ich denke, sind Alex Simpsons Ergebnisse zu Eigenschaften von Programmiersprachen unter Verwendung der Theorie der synthetischen Domänen. Er verwendet die intuitionistische Mengenlehre mit Axiomen, die der klassischen Logik widersprechen.

Außerdem verwendeten Alex und ich intuitionistische Axiome mit antiklassischen Kontinuitätsprinzipien, um Ergebnisse über die Banach-Mazur-Kompatibilität zu zeigen.

Keines der genannten Beispiele hat jedoch einen "offenen" Status wie Ihre Beweise, da wir wissen, dass die von uns verwendeten nicht-standardmäßigen Axiome einfach als Arbeiten in einem Modell der intuitionistischen Mathematik verstanden werden können, in dem gezeigt werden kann, dass das Modell existiert in ZFC. Das nicht standardmäßige Setup ist also eine Möglichkeit, die Dinge eleganter zu machen, und im Prinzip könnten sie in reinem ZFC durchgeführt werden (obwohl ich Angst habe, darüber nachzudenken, wie genau das gehen würde).


Danke! Ich werde Alex um weitere Details bitten, wenn ich die Einführung schreibe.
IamMeeoh

13

Es hängt von Ihrer Definition von "Informatik" ab. Nehmen Sie das folgende Beispiel - zählt es?

Eine Codierung der ganzen Zahlen ist ein eindeutig decodierbarer Binärcode von . Wenn die Länge der Codewörter nicht abnimmt, nennen wir den Code monoton . Ein Code ist besser als ein Code wenn . Mit anderen Worten, für jedes sind die Codewörter von von einem Punkt an mindestens Bits kürzer.C 1 C 2 | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | - L C 1 LNC1C2|C1(n)||C2(n)|LC1L

Ein Satz von Codes heißt kofinale wenn für jeden Code gibt einen Code , die besser ist , als . Es ist gut geordnet, wenn es in Bezug auf "besser" gut geordnet ist. Eine Skala ist eine geordnete Gruppe von Codes.C D S CSCDSC

Hier sind zwei von ZFC unabhängige Eigenschaften:

  1. Es gibt eine Skala von Codes.
  2. Es gibt eine Skala von monotonen Codes (dh eine gut geordnete Menge von monotonen Codes, die in der Menge aller monotonen Codes endgültig ist).

Hallo Yuval, danke für die Antwort. Ich bin nicht sicher, ob Ihr Beispiel zu meiner Definition "Informatik" passt. Sicherlich reicht es nicht aus, von "Codes" zu sprechen, um sie als CS zu klassifizieren. Was macht eine Zeitung "eine CS-Zeitung" imho ist die folgende: Hat es in einer CS-Konferenz / Zeitschrift erschienen, oder wurde es verwendet, um ein Ergebnis in einer CS-Konferenz / Zeitschrift zu beweisen? Ich bin ziemlich flexibel, aber Themen könnten "Informationstheorie, Komplexität, Programm- / Systemlogik, Rekursionstheorie" usw. sein. Wie auch immer, Sie können die Quelle des Beispiels und / oder die Arbeiten, die davon Gebrauch machen, zitieren. Es gibt eine Skala von Codes "? Vielen Dank! Tschüss
IamMeeoh

1
Aufsätze über Codes der ganzen Zahlen erscheinen in elektrotechnischen Fachzeitschriften, wie beispielsweise den IEEE-Transaktionen zur Informationstheorie. Das trifft auf eines Ihrer Keywords zu.
Yuval Filmus

1
Ich glaube nicht, dass es irgendein Papier gibt, das diese Ergebnisse verwendet. Darüber hinaus bin ich der festen Überzeugung, dass ein vom ZFC unabhängiges Ergebnis keine Bedeutung für die Komplexität hat. In gewissem Sinne geht es also bei Ihrer Frage darum, die Grenzen der Informatik zu erweitern.
Yuval Filmus

1
Hallo Yuval, zunächst möchte ich mich noch einmal für die Antworten bedanken. Ich stimme Ihrer starken Position jedoch nicht zu. Zum Beispiel hat der Satz von Robertson-Seymour (der eine Auswahl zu erfordern scheint) wichtige Konsequenzen für die Komplexität. Es ist also klar, dass die Wahl in der Komplexitätstheorie nützlich ist (vielleicht ein bisschen überraschend). Das Arbeiten mit konsequenten Erweiterungen von ZFC vereinfacht offensichtlich die Aufgabe, Ergebnisse zu beweisen, beispielsweise Komplexität, auch wenn diese Ergebnisse in ZFC möglicherweise nachweisbar sind, aber noch niemand weiß, wie.
IamMeeoh

1
Außerdem verstehe ich nicht, warum es unabhängig von ZFC keine konkreten Ergebnisse in der Komplexität geben sollte, so wie der Satz von Robertson-Seymour (vielleicht) unabhängig von ZF ist.
IamMeeoh

9

Ein Konus von Turing Grad ist ein Satz von Graden mit einiger Basis , so daß für alle Grade , , wenn und nur wenn .b D c b T c c DDbDcbTccD

Die Aussage zur Turing-Grad-Bestimmtheit :

Jeder Satz von Turing-Graden enthält entweder einen Kegel oder ist von einem Kegel getrennt

ist eine Folge des von ZF unabhängigen und mit ZFC inkompatiblen Determinantenaxioms (AD). Die schwächere Aussage

Jede unter Turing-Äquivalenz abgeschlossene Borel-Menge von Real enthält entweder einen Kegel oder ist von einem Kegel getrennt

ist eine Konsequenz von Martins Satz über die Borel-Determiniertheit, die in ZFC bewiesen werden kann. Beide Aussagen wurden untersucht, bevor Martins Ergebnis zur Borel-Bestimmbarkeit bewiesen wurde. Zu diesem Zeitpunkt war nur bekannt, dass beide Aussagen in ZF + AD nachweisbar sind.

Das zweitzitierte Ergebnis hat die folgende interessante Schlussfolgerung: Angenommen, ist eine unter Turing-Äquivalenz geschlossene Borel-Menge von Reellen, so dass für jedes reelle ein mit (dies besagt nur, dass nach oben dicht ist in den Turinggraden). Dann muss einen ganzen Kegel von Turing-Graden enthalten.b c S b T C S SSbcSbTcSS



0

Viel konstruktive Mathematik. Siehe Per Martin-Löfs Arbeit zur konstruktiven Mengenlehre, die als Grundlage für abhängig typisierte Programmiersprachen dient.


6
Die Martin-Lof-Typentheorie (IIRC) hat die gleiche Konsistenzstärke wie die Kripke-Platek-Mengen-Theorie, die weitaus schwächer als die ZFC ist. MLTT hat auch keine explizit anti-klassischen Prinzipien, wie die erwähnten Kontinuitätsaxiome Andrej.
Neel Krishnaswami

@Neel Ich habe nie etwas über die Konsistenz oder Stärke von MLTT gesagt. Ich halte jedoch einige Ergebnisse in der konstruktiven Mathematik für relevant für diese Frage und frage nach "interessanten Ergebnissen in CS, die ... unabhängig von ZFC sind".
Rob

5
Ich gehe davon aus, dass "unabhängig" hier im formalen Sinne gemeint ist.
Mark Reitblatt
Durch die Nutzung unserer Website bestätigen Sie, dass Sie unsere Cookie-Richtlinie und Datenschutzrichtlinie gelesen und verstanden haben.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.