Platzsparende „industrielle“ unsymmetrische Expander

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Ich suche unsymmetrische Expander, die "gut" und "platzsparend" sind. Insbesondere ist ein zweigliedriger linksregelmäßiger Graph , , , mit dem linken Grad ist ein -Expander, wenn für jedes der Größe höchstens die Anzahl der verschiedenen Nachbarn von in mindestens $G=(A,B,E)$ $|A|=n$ $|B|=m$ $d$ $(k,\epsilon)$ $S \subset A$ $k$ $S$ $B$ . Es ist bekannt, dass die probabilistische Methode einen solchen Graphen mit und liefert. Man braucht jedoch $(1-\epsilon)d|S|$ $d=O(\log (n/k)/\epsilon)$ $m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$ $O(n d)$ Platz zum Speichern eines solchen Graphen. Außerdem muss man auch auf diesen Speicher zugreifen, wenn man etwas mit dem Graphen macht, was ebenfalls Kosten verursachen kann. Idealerweise möchte man eine explizite Konstruktion. Bekannte Konstruktionen erreichen jedoch meines Wissens (zumindest nachweislich) noch etwas weiter entfernte Parameter.

Meine Frage: Gibt es andere, möglicherweise nicht explizite Konstruktionen, die Grenzen "näher" an den oben genannten erreichen und dennoch "deutlich weniger" als verwenden? $O(nd)$

Ich suche nach Antworten in einer dieser drei Kategorien: (a) Theoreme (b) Vermutungen (c) Beobachtungen und "Kriegsgeschichten" wie "Wir haben dies getan und es schien irgendwie zu funktionieren". Dh "industrielle" Expander sind in Ordnung. Ich bevorzuge (a) gegenüber (b) und (b) gegenüber (c), aber Bettler können keine Wahl sein :)

Hier ist ein Beispiel für eine Konstruktion vom Typ (c). Nehmen Sie zufällige lineare Hash-Funktionen (mod ) und verbinden Sie jeden Vertex mit . Ich und mein Schüler machten einige Experimente und es schien "gut" zu funktionieren. Gibt es Theoreme oder Vermutungen über diese oder verwandte Konstruktionen? $d$ $h_i: [n] \to [m]$ $m$ $i$ $h_1(i) \ldots h_d(i)$

Vielen Dank!

graph-theory derandomization expanders

— Piotr
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Dies ist eine großartige Frage, aber es scheint keine Antworten zu geben! Verwendet niemand andere Expander als einen Zauberstab, um Beweise zum Laufen zu bringen? Ich dachte, einige Arten von Ramanujan-Diagrammen wären recht einfach zu konstruieren.

— András Salamon

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Ramanujan-Graphen sind zwar relativ einfach zu konstruieren, aber sie sind ausgeglichen , dh m = n.

— Piotr

Haben Sie sich den Bau von Guruswami-Umans-Vadhan angesehen? Ich frage mich, warum es Ihre Anforderung nicht erfüllt.

— Zeyu

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$d$ $h_1,\dots,h_d$ $v$ $h_1(v),\dots,h_d(v)$ $(k,\epsilon)$ $d=k(t-1)/(2\epsilon)$ $t$ $n=q^t$ $m=dq$ $q>d$ $h_1,\dots,h_d$ $t$

— Holger
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Ich dachte, dass ein Blick auf Umfragen / Vorträge von Avi Wigderson bei Ihrer Frage hilfreich sein könnte. Hier sind Folien aus einem Vortrag: Expander Tutorial, Juni 2010 . Der Aufbau beginnt auf Seite 40.

In Bezug auf die Platzkomplexität halte ich es für hilfreich, wenn Sie die Operationen angeben, die Sie an der Grafik ausführen müssen. Wenn ich mich nicht irre, erlauben einige Konstruktionen Operationen wie das Berechnen der Nachbarschaft im Logspace.

— Kaveh
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