Begrenzen Sie die Anzahl der Kanten zwischen Sterngraphen, sodass der Graph planar ist


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Ich habe einen Graphen der nur aus Sterngraphen besteht. Ein Sterngraph besteht aus einem zentralen Knoten mit Kanten zu jedem anderen Knoten darin. Sei H 1 , H 2 , , H n verschiedene Sterngraphen unterschiedlicher Größe, die in G vorhanden sind . Wir nennen die Menge aller Knoten, die Zentren in einem Sterngraphen R sind .GH1,H2,,HnGR

Angenommen, diese Sterngraphen bilden Kanten zu anderen Sterngraphen, so dass keine Kante zwischen Knoten in . Wie viele Kanten existieren dann maximal zwischen den Knoten in R und den Knoten, die nicht in R sind , wenn der Graph planar bleiben soll?RRR

Ich möchte die Obergrenze für die Anzahl solcher Kanten. Eine Obergrenze, an die ich denke, ist: Betrachten Sie sie als zweigeteilten planaren Graphen, wobei eine Menge von Eckpunkten ist und der Rest der Eckpunkte eine andere Menge A bildet . Wir interessieren uns für Kanten zwischen diesen Mengen ( R und A ). Da es planar zweigeteilt ist, ist die Anzahl solcher Kanten durch die doppelte Anzahl von Knoten in G begrenzt .RARAG

Was ich fühle , ist , dass gibt es eine bessere gebunden, vielleicht zweimal die Knoten in plus die Anzahl der Knoten in R .AR

Wenn Sie meine Intuition widerlegen können, wäre das auch gut. Hoffentlich können einige von Ihnen eine gute Bindung zusammen mit einigen relevanten Argumenten finden.


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Lassen Sie mich das Problem anders formulieren: Wenn ein planarer zweigliedriger Graph H sagt, möchten wir ihn in Teilmengen zerlegen, wobei jede Teilmenge dem Sterngraphen in G entspricht (knotendisjunkte Zerlegung in etwa 'x' verschiedene Sterne (vorausgesetzt, es existiert)). Was ist also die engste Grenze für die Anzahl der Kanten im planaren zweigeteilten Graphen H (kann 'x' eine Rolle dabei spielen?).
singhsumit


scheint fast wie ein Duplikat der obigen Frage, aber ich bin nicht sicher.
Suresh Venkat

Das Restatement stellt nicht vollständig klar: Wenn Sie ein zweigeteiltes Diagramm haben, partitionieren Sie entweder Kanten in Sterne, duplizieren Knoten oder partitionieren Knoten und verlieren Kanten. Beispielsweise ergibt ein Quadrat entweder 2 Sterne mit 3 Knoten oder einen Stern mit 3 Knoten und einen Knoten mit 1 Knoten. In beiden Fällen scheint jedoch die Analyse und das Beispiel von @ David ( cstheory.stackexchange.com/questions/5412 ) Ihre Frage zu beantworten.
Jack

Antworten:


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danke für die Antwort. Einige Leute oben haben einen relevanten Link zu einem ähnlichen Problem gepostet und ich habe jetzt die Antwort.
singhsumit
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