Begrenzen Sie die Anzahl der Kanten zwischen Sterngraphen, sodass der Graph planar ist

Ich habe einen Graphen der nur aus Sterngraphen besteht. Ein Sterngraph besteht aus einem zentralen Knoten mit Kanten zu jedem anderen Knoten darin. Sei H 1 , H 2 , … , H n verschiedene Sterngraphen unterschiedlicher Größe, die in G vorhanden sind . Wir nennen die Menge aller Knoten, die Zentren in einem Sterngraphen R sind .$G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

Angenommen, diese Sterngraphen bilden Kanten zu anderen Sterngraphen, so dass keine Kante zwischen Knoten in . Wie viele Kanten existieren dann maximal zwischen den Knoten in R und den Knoten, die nicht in R sind , wenn der Graph planar bleiben soll?$R$$R$$R$

Ich möchte die Obergrenze für die Anzahl solcher Kanten. Eine Obergrenze, an die ich denke, ist: Betrachten Sie sie als zweigeteilten planaren Graphen, wobei eine Menge von Eckpunkten ist und der Rest der Eckpunkte eine andere Menge A bildet . Wir interessieren uns für Kanten zwischen diesen Mengen ( R und A ). Da es planar zweigeteilt ist, ist die Anzahl solcher Kanten durch die doppelte Anzahl von Knoten in G begrenzt .$R$$A$$R$$A$$G$

Was ich fühle , ist , dass gibt es eine bessere gebunden, vielleicht zweimal die Knoten in plus die Anzahl der Knoten in R .$A$$R$

Wenn Sie meine Intuition widerlegen können, wäre das auch gut. Hoffentlich können einige von Ihnen eine gute Bindung zusammen mit einigen relevanten Argumenten finden.

$R$$A$$\ge 2$

$2N-4$$N$$N$$4$

$4$$2N-4$

$4$

$F$$6$$F$$x$$F$$x$$x-a-...-x-b...$$F$$z\neq x$$z$$a$$b$$z$$F$$x-a-y-b-z$$F$$x,y,z$$a,b$$x$$b$$a$$z$$(x,b)$$(a,z)$$F$