Es ist bekannt, dass es bei einer Punkt-Teilmenge von ℓ d 2 ( dh bei n Punkten in R d mit euklidischem Abstand) möglich ist, sie isometrisch in ℓ ( n ) einzubetten.
Ist die Isometrie in (möglicherweise randomisierter) Polynomzeit berechenbar?
Da es endliche Präzisionsprobleme gibt, ist die genaue Frage
Bei einer Menge von n Punkten in R d und ϵ > 0 gibt es eine Abbildung f : X → R ( n berechenbar (möglicherweise unter Verwendung von Zufälligkeit) im Zeitpolynom innund logarithmisch in1/ϵ,so dass für jedesx,y∈Xgilt
(Anmerkung: Mir ist bekannt, dass eine Abbildung mit Verzerrung mit hoher Wahrscheinlichkeit im Zeitpolynom in n und 1 / ϵ gefunden werden kann, indem auf O ( ϵ - 2 ⋅ log n ) zufällige Linien projiziert wird, ich jedoch nicht sicher, ob die Anzahl der Dimensionen konstruktiv auf ( n) reduziert werden kann oder sogarO(n2),wenn1/ϵviel größer alsn ist, und ich weiß nicht, ob es eine polynomielle Zeitmethode gibt, um den Fall zu behandeln, in dem1/ϵinnexponentiell ist.)