Minimum Flip Connectivity Problem

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Ich habe heute beim Spielen mit meinem GPS das folgende Problem formuliert. Hier ist es :

Sei ein gerichteter Graph, so dass, wenn dann , dh eine Orientierung des zugrunde liegenden ungerichteten Graphen ist. Betrachten Sie die folgenden Operationen: $G(V,E)$ $e=(u,v) \in E$ $(v,u) \notin E$ $G$

$Flip(u,v)$ : Ersetzen Sie eine Kante durch eine Kante $(u,v)$ $(v,u)$
$undirect(u,v)$ : Machen Sie die Kante ungerichtet $(u,v)$

Sei zwei spezielle Eckpunkte. Berücksichtigen Sie die folgenden Optimierungsprobleme: $s,t \in V$

Min-Flip-St-Konnektivität: Wenn und zwei Eckpunkte die minimale Anzahl von Kanten an, die gekippt werden müssen, um einen gerichteten Pfad von nach . $G$ $s,t$ $s$ $t$
Starke Min-Flip-Konnektivität: Geben Sie bei die Mindestanzahl der Kanten an, die gekippt werden müssen, damit stark verbunden wird. Wenn es nicht möglich ist, durch Umdrehen der Flanken fest zu verbinden, wird der Ausgang NO ausgegeben. $G$ $G$ $G$
Minimale undirektionale starke Konnektivität: Bestimmen Sie bei gegebenem die minimale Anzahl von Kanten, die ungerichtet sein müssen, um stark zu verbinden. $G$ $G$

Beachten Sie, dass Sie keine "neuen" Kanten hinzufügen dürfen. Sie ändern nur die vorhandenen Kanten mit den oben genannten Vorgängen. Ist dieses Problem in der Literatur bekannt. Wenn ja, wie lauten die bekannten Ergebnisse?

ds.algorithms graph-algorithms

— Shiva Kintali
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Du meinst die minimale Anzahl von Kanten, die richtig gekippt werden müssen?

— Gaurav Kanade

@ Gaurav: Ja. Ich habe es korrigiert.

— Shiva Kintali

Meinen Sie für das dritte Problem, dass eine ungerichtete Kante in beide Richtungen verfolgt werden kann?

— Yoshio Okamoto

@Yoshio: Ja. Ungerichtete Kanten können in beide Richtungen verwendet werden, um Pfade zu bestimmen.

— Shiva Kintali

Siehe auch

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Zusammenfassung: Die Probleme können in polynomialer Zeit gelöst werden, indem eine kostengünstige, stark verbundene Orientierung gefunden wird.

Weitere Einzelheiten: Ein Satz von Robbins besagt, dass die Kanten eines ungerichteten Graphen so ausgerichtet werden können, dass der resultierende gerichtete Graph genau dann stark verbunden ist, wenn der ungerichtete Graph 2-Kanten-verbunden ist. Es gibt mehrere Erweiterungen, von denen eine besagt, dass wir mithilfe eines submodularen Flussalgorithmus für die Polynomzeit das folgende Problem in der Polynomzeit lösen können: Bestimmen Sie bei einem ungerichteten Graphen mit Kantenkosten (für beide Richtungen) eine kostenminimale Ausrichtung der Graph ist stark verbunden. Siehe zum Beispiel Franks Zeitung . Ein neuerer Algorithmus wird von Iwata und Kobayashi bereitgestellt .

Dieses Ergebnis sollte zur Lösung der gestellten Probleme nützlich sein. Das erste Problem kann mit der von Tomek vorgeschlagenen Methode gelöst werden . Also konzentrieren wir uns auf die anderen Probleme.

Für das zweite Problem verwenden wir die gleiche Konstruktion eines kantengewichteten Graphen wie für Tomek und finden eine kostengünstige, stark verbundene Orientierung in der Polynomzeit.

Um beim dritten Problem beide Richtungen für jede Kante zuzulassen, duplizieren wir jede Kante und wenden dann dieselbe Konstruktion und denselben Algorithmus an. Dies ist eine gültige Reduzierung, da die Verwendung der gleichen Richtung für duplizierte Kanten die starke Verbindung nicht beeinträchtigt.

— Yoshio Okamoto
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$G'=(V,E')$ $E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$ $G$ $s$ $t$

— Tomek Tarczynski
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$k$ $k=0$ $s$ $t$ $k$

— Dave
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In meinem kürzlich erschienenen Buch "Connections in Combinatorial Optimization" (Oxford University Press, 2011) geht es vor allem um Probleme bei der Diagrammorientierung, einschließlich der oben diskutierten Variationen. Es ist bekannt, dass ein 2k-kantenverbundener Graph eine k-kantenverbundene Orientierung hat (dies ist ein Satz von Nash-Williams). Wenn der Graph nicht mit 2k Kanten verbunden ist, kann man sich dafür interessieren, zu entscheiden, ob eine gegebene Teilmenge F von Kanten gut ist (in dem Sinne, dass F eine Orientierung hat, so dass der resultierende gemischte Graph mit k Kanten verbunden ist). In dem Buch habe ich beschrieben, wie dieses Problem in Polynomialzeit gelöst werden kann. Aber ich weiß nicht, wie man eine Mindestkardinalität gut einstellt.

Andras Frank

— andras frank
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Min-Flip-St-Konnektivitätsbasis: Berechnen Sie alle Scheitelpunkte, die von s (T) aus erreichbar sind. wenn t in t stop ist. Induktiv: Betrachten Sie alle Scheitelpunkte außerhalb von T, die neben T liegen, mit einem Flip und nennen Sie dieses U. Berechnen Sie die von U aus erreichbaren Scheitelpunkte und nennen Sie dieses V. Wenn t V stop ist, fügen Sie andernfalls V zu T hinzu und fahren Sie fort.

Min-Flip-Konnektivität Sie müssen undirekt meinen, da Sie ein Problem mit: A -> B haben würden