Hierarchien in NP (unter der Annahme, dass P! = NP)

Unter der Annahme, dass P! = NP ist, wurde meines Erachtens gezeigt, dass es Probleme gibt, die nicht in P und nicht in NP-Complete sind. Es wird vermutet, dass der Graphisomorphismus ein solches Problem darstellt.

Gibt es Hinweise auf weitere solche "Schichten" in NP? dh eine Hierarchie von mehr als drei Klassen, die bei P beginnen und in NP gipfeln, so dass jede eine richtige Obermenge der anderen ist?

Ist es möglich, dass die Hierarchie unendlich ist?

Ja! Tatsächlich gibt es nachweislich eine unendliche Hierarchie immer härterer Probleme zwischen P und NP-vollständig unter der Annahme, dass P! = NP ist. Dies ist eine direkte Folge des Beweises von Ladners Theorem (der die Nicht-Leere von NP \ P begründete)

Formal wissen wir, dass für jede Menge S, die nicht in P enthalten ist, S 'nicht in P vorhanden ist, sodass S' für S karpreduzierbar ist, S jedoch nicht für S 'für Cookreduzierbar ist. Deshalb, wenn P! = NP, dann gibt es eine unendliche Folge von Sätzen S ₁ , S ₂ ... in NP \ P , so dass S _{i + 1} ist Karp-reduzierbar auf S _i aber S _i nicht Koch-reduzierbar ist S _{i + 1} .

Zugegeben, die überwiegende Mehrheit dieser Probleme ist höchst unnatürlich.

Es gibt einen Begriff des "begrenzten Nichtdeterminismus", der die nichtdeterministischen Bits begrenzt, die von der Turing-Maschine benötigt werden, um zu einer Lösung zu gelangen. Die Klasse NP benötigt zum Beispiel O (n) Bits. Durch die Beschränkung der nicht deterministischen Bits auf Polylog wird eine unendliche Hierarchie von Komplexitätsklassen definiert, die als \ beta P-Hierarchie bezeichnet wird und jeweils eigene vollständige Probleme aufweist.

Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel für Details: Goldsmith, Levy, Mundhenk, "Limited Nondeterminism", SIGACT News, Bd. 27 (2), S. 20-29, 1996.