Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Diamantnorm und der Entfernung der assoziierten Staaten?

In der Quanteninformationstheorie wird der Abstand zwischen zwei Quantenkanälen häufig mit der Diamantnorm gemessen. Es gibt auch eine Reihe von Möglichkeiten, um den Abstand zwischen zwei Quantenzuständen zu messen, z. B. den Spurabstand, die Wiedergabetreue usw. Der Jamiołkowski-Isomorphismus bietet eine Dualität zwischen Quantenkanälen und Quantenzuständen.

Dies ist zumindest für mich interessant, da die Diamantnorm bekanntermaßen schwer zu berechnen ist und der Jamiołkowski-Isomorphismus eine gewisse Korrelation zwischen Abstandsmaßen von Quantenkanälen und Quantenzuständen zu implizieren scheint. Meine Frage lautet also: Gibt es eine bekannte Beziehung zwischen dem Abstand in der Diamantnorm und dem Abstand zwischen den assoziierten Zuständen (in gewissem Maße)?

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— Joe Fitzsimons
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Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "Die Diamantnorm ist bekanntermaßen schwer zu berechnen" meinen. Wenn Sie einen Quantenkanal als explizite Matrix (etwa aus der Choi-Jamiołkowski-Darstellung) erhalten, kann das Quadrat der Diamantnorm formuliert werden als semidefinites Programm; siehe Abschnitt 20.4 der Vorlesung von John Watrous . In diesem Sinne verfügt die Diamantnorm über ein effizientes Mittel zur Berechnung.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Ich bezog mich nur auf die implizite Optimierung. Ich meinte nicht rechenintensiv, sondern umständlich zu arbeiten.

— Joe Fitzsimons

Dies sind sehr schöne Vorlesungsunterlagen.

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Ja, es sind großartige Noten, aber ich glaube nicht, dass sie diese spezielle Frage beantworten.

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: Aus irgendeinem Grund ist der letzte Abschnitt in QIP-Folien 20.3. Haben Sie einen vollständigeren Vorlesungssatz?

— Artem Oboturov

Antworten:

Schreiben wir für einen Quantenkanal , um den zugehörigen Zustand zu bezeichnen: $\Phi$ $J(\Phi)$ Hier nehmen wir an, dass der Kanal(dhkomplexe Matrizen) auffür eine beliebige Auswahl von positiven ganzen Zahlenundabbildet, dieSie mögen. Die Matrix

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ wird manchmal die Choi-Matrix oder Choi-Jamiolkowski-Darstellung von

, aber es kommt häufiger vor, dass diese Begriffe verwendet werden, wenn die

Φ

$\Phi$

Normalisierung wird weggelassen.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Beachten Sie, dass die obige Definition nicht funktioniert für beliebige Zuordnungen, nur die von der Form für völlig positive Karten und . Für allgemeine Zuordnungen wird die supremum über alle Matrizen mit Spuren Norm genommen 1, im Gegensatz zu nur Dichtematrizen.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Wenn Sie keine zusätzlichen Annahmen zu den Kanälen haben, können Sie nicht zu viel darüber sagen, wie sich diese Normen neben diesen groben Grenzen verhalten: Für die zweite Ungleichung gibt man sich im Wesentlichen mit der spezifischen Wahl anstatt die supremum über alle nehmen

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . Die erste Ungleichung ist eine Verschärfung des Angebots, aber es wäre eine vernünftige Zuweisungsfrage für einen Abschlusskurs über Quanteninformation. (An dieser Stelle möchte ich mich für Ihre Frage bedanken, da ich diese Frage in vollem Umfang im Herbstangebot meines Kurses zur Quanteninformationstheorie verwenden möchte.)

Sie können entweder Ungleichheit für eine geeignete Wahl der Kanäle erreichen und , auch unter der zusätzlichen Annahme , dass die Kanäle vollkommen unterscheidbar sind (was bedeutet ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watrous
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Danke John, das beantwortet meine Frage perfekt und hat mir viel Zeit gespart.

— Joe Fitzsimons

Vielleicht möchten Sie auch Distanzmaße untersuchen, um reale und ideale Quantenprozesse zu vergleichen. ArXiv: quant-ph / 0408063 gibt einen Überblick über Distanzmaße für Quantenkanäle und ihre Beziehungen.

Sie verwenden den Ausdruck S-Distanz für die Diamantdistanz und J-Distanz für die Spurdistanz der Jamiołkowski-Operatoren, die den Kanälen zugeordnet sind.

— Antonio Valerio Miceli-Barone
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Ich denke gerne an die erste Ungleichung, die Watrous in Bezug auf probabilistische Kanalteleportation schrieb. Wenn Sie die Diamant - Norm als Maß für die kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit bei der Unterscheidung Kanäle interpretieren und , und die Trace - Norm als Äquivalent für ihre Jamiolkowski Staaten, können Sie immer die optimale Strategie für die Kanäle aus ihren entsprechenden Staaten implementieren mit Erfolgswahrscheinlichkeit. Dies konsequent umzusetzen, könnte ein Beweis für die Ungleichheit sein. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Diese Denkweise zeigt auch, dass, wenn die Kanäle deterministisch teleportiert werden können (wie z. B. Pauli-Kanäle), ihre Diamantnorm der Jamiolkowski-Spurentfernung entspricht.

— Alex Monras
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