Axiome, die für die theoretische Informatik notwendig sind

Diese Frage ist inspiriert von einer ähnlichen Frage zur angewandten Mathematik in Bezug auf den Mathoverflow, und diese nörgelnden Gedanken, dass wichtige Fragen von TCS wie P vs. NP von ZFC (oder anderen Systemen) unabhängig sein könnten. Als kleiner Hintergrund ist die umgekehrte Mathematik das Projekt, die Axiome zu finden, die notwendig sind, um bestimmte wichtige Theoreme zu beweisen. Mit anderen Worten, wir beginnen mit einer Reihe von Theoremen, von denen wir erwarten, dass sie wahr sind, und versuchen, die minimale Menge von "natürlichen" Axiomen abzuleiten, die sie so machen.

Ich habe mich gefragt, ob der umgekehrte mathematische Ansatz auf wichtige Theoreme des TCS angewendet wurde. Insbesondere zur Komplexitätstheorie. Angesichts der festgefahrenen Situation bei vielen offenen Fragen in TCS ist es naheliegend zu fragen, "welche Axiome haben wir nicht ausprobiert?". Haben sich wichtige Fragen in TCS als unabhängig von bestimmten einfachen Teilsystemen der Arithmetik zweiter Ordnung erwiesen?

Ja, das Thema wurde in Beweiskomplexität untersucht. Es heißt Bounded Reverse Mathematics . Eine Tabelle mit Ergebnissen der Umkehrmathematik finden Sie auf Seite 8 von Cooks und Nguyens Buch " Logical Foundations of Proof Complexity ", 2010. Einige der früheren Studenten von Steve Cook haben sich mit ähnlichen Themen befasst, z. B. Nguyens These " Bounded Reverse Mathematics ". , Universität von Toronto, 2008.

Alexander Razborov (auch andere Beweiskomplexitätstheoretiker) hat einige Ergebnisse zu den schwachen Theorien, die zur Formalisierung der Schaltungskomplexitätstechniken und zum Nachweis der Schaltungskomplexität im unteren Bereich benötigt werden. Für schwache Theorien erhält er einige Unbeweisbarkeitsergebnisse, die jedoch als zu schwach angesehen werden.

$RCA_0$$\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$$PA_1$$PA_1$$PA$

Als positive Antwort auf Ihre letzte Frage erfordern Normalisierungsnachweise für polymorphe Lambda-Kalküle wie die Berechnung von Konstruktionen mindestens eine Arithmetik höherer Ordnung, und stärkere Systeme (wie die Berechnung von induktiven Konstruktionen) sind mit ZFC und zählbar vielen Unzugänglichkeiten gleichwertig.

$P \not= NP$$PA_1$$DTIME(n^{\log^{*}(n)})$$PA$$PA_1$

Aus philosophischer Sicht sollten Sie nicht den Fehler machen, Konsistenzstärke mit der Stärke einer Abstraktion gleichzusetzen.

Die richtige Art und Weise, ein Thema zu organisieren, kann anscheinend wildsatztheoretische Prinzipien beinhalten, auch wenn sie im Hinblick auf die Konsistenzstärke möglicherweise nicht unbedingt erforderlich sind. Zum Beispiel sind starke Sammlungsprinzipien sehr nützlich, um Homogenitätseigenschaften anzugeben - zum Beispiel wollen Kategorietheoretiker, dass schwache große Kardinalaxiome Dinge wie die Kategorie aller Gruppen so manipulieren, als wären sie Objekte. Das bekannteste Beispiel ist die algebraische Geometrie, bei deren Entwicklung Grothendieck-Universen in großem Umfang genutzt werden, deren Anwendungen (z. B. der letzte Satz von Fermat) jedoch offenbar in der Arithmetik dritter Ordnung liegen. Beachten Sie als viel trivialeres Beispiel, dass die generischen Identitäts- und Kompositionsoperationen keine Funktionen sind, da sie über das gesamte Universum von Mengen indiziert sind.

$\sigma$$X$$X$

BEARBEITEN: Logisches System A hat eine höhere Konsistenzstärke als System B, wenn die Konsistenz von A die Konsistenz von B impliziert. Beispielsweise hat ZFC eine höhere Konsistenzstärke als Peano-Arithmetik, da Sie die Konsistenz von PA in ZFC nachweisen können. A und B haben die gleiche Konsistenzstärke, wenn sie gleich konsistent sind. Beispielsweise ist Peano-Arithmetik genau dann konsistent, wenn Heyting-Arithmetik (konstruktive Arithmetik) ist.

IMO, eine der erstaunlichsten Tatsachen über Logik ist, dass die Konsistenzstärke auf die Frage hinausläuft, was die am schnellsten wachsende Funktion ist, die Sie in dieser Logik insgesamt nachweisen können. Dadurch kann die Konsistenz vieler Logikklassen linear geordnet werden! Wenn Sie eine Ordinalnotation haben, die die am schnellsten wachsenden Funktionen beschreibt, die Ihre beiden Logiken insgesamt zeigen können, dann wissen Sie durch Trichotomie, dass entweder eine die Konsistenz der anderen beweisen kann oder sie gleich konsistent sind.

Aber diese erstaunliche Tatsache ist auch der Grund, warum Konsistenzstärke nicht das richtige Werkzeug ist, um über mathematische Abstraktionen zu sprechen. Es ist eine Invariante eines Systems mit Codierungstricks, und mit einer guten Abstraktion können Sie eine Idee ohne Tricks ausdrücken . Wir wissen jedoch nicht genug über Logik, um diese Idee formal auszudrücken.