Betrachten Sie einen verbundenen ungerichteten Graphen mit nicht negativen Kantengewichten und zwei unterschiedlichen Eckpunkten . Im Folgenden sind einige Pfadprobleme aufgeführt, die alle die folgende Form haben: Suchen Sie einen Pfad, sodass eine Funktion der Kantengewichte auf dem Pfad minimal ist. In diesem Sinne sind sie alle "Verwandte" des Problems des kürzesten Weges; in letzterem ist die Funktion einfach die Summe.
Hinweis: Wir suchen nach einfachen Pfaden, dh ohne wiederholte Eckpunkte. Da ich in der Literatur keine Standardnamen für diese Probleme gefunden habe, habe ich sie selbst benannt.
Pfad mit minimaler Gewichtslücke: Suchen Sie einen Pfad, sodass der Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Kantengewicht auf dem Pfad minimal ist.
Glattester Pfad: Suchen Sie einen Pfad, sodass die größte Schrittgröße auf dem Pfad minimal ist, wobei eine Schrittgröße der absolute Wert der Gewichtsdifferenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kanten ist.
Pfad mit minimaler Höhe: Definieren wir die Höhe eines Pfades durch die Summe der Schrittgrößen entlang des Pfades (siehe Definition der Schrittgröße oben). Suchen Sie einen Pfad mit minimaler Höhe.
Pfad mit minimalem Primgewicht: Unter der Annahme, dass alle Kantengewichte positive ganze Zahlen sind, suchen Sie einen Pfad, sodass sein Gewicht eine Primzahl ist. Wenn es einen solchen Pfad gibt, suchen Sie einen mit dem kleinstmöglichen Primgewicht.
Frage: Was ist über diese Pfadprobleme bekannt? (Und andere, die in einem ähnlichen Geist konzipiert werden könnten, indem eine andere Funktion der Gewichte angewendet wird.) Gibt es im Allgemeinen eine Anleitung, welche Funktionen der Kantengewichte in der Polynomzeit minimiert werden können und welche NP-hart sind?
Hinweis: Es ist zum Beispiel interessant, dass die Summe der Gewichte zwar leicht zu minimieren ist (dies ist das klassische Problem des kürzesten Pfades), die Minimierung des eng verwandten Durchschnitts der Gewichte auf dem Pfad jedoch NP-hart ist. (Weisen Sie allen auf und einfallenden Kanten das Gewicht 2 und allen anderen das Gewicht 1 zu. Dann ist ein minimaler durchschnittlicher Gewichtspfad der längste Pfad.)