Gibt es ein Äquivalent zur Derandomisierung für Quantenalgorithmen?

Mit einigen randomisierten Algorithmen können Sie den Algorithmus derandomisieren, indem Sie (zu einem möglichen Preis in der Laufzeit) die Verwendung von Zufallsbits entfernen und eine Untergrenze für das Ziel maximieren (in der Regel unter Verwendung der Tatsache berechnet, dass die Theoreme die erwartete Leistung des Zufalls widerspiegeln Algorithmus). Gibt es ein Äquivalent für Quantenalgorithmen? Gibt es bekannte Ergebnisse der "Dequantisierung"? Oder ist der zugrunde liegende Zustandsraum zu groß für diese Art von Technik?

Zu diesem Thema gab es einen Blogbeitrag von Fortnow . Es wird angenommen, dass es keine Hoffnung auf ein "Dequantisierungs" -Programm gibt, das dem derandomisierten Programm ähnelt.

Andererseits war es für einige spezifische Nichtquantenergebnisse, die unter Verwendung von Quantenmethoden erhalten wurden, möglich, die Quanten im Beweis zu entfernen. Zum Beispiel haben Kerenidis und de Wolf (2002) die erste exponentielle Untergrenze für die Länge möglicherweise nichtlinearer 2-Abfrage-lokal decodierbarer Codes unter Verwendung von Quantenargumenten bewiesen. Später konnten Ben-Aroya, Regev und de Wolf (2007) die Quantität des Beweises entfernen (obwohl die Argumentationslinie immer noch die Quantität 1 modellierte). Ähnliche Situationen ergaben sich auch beim Nachweis der unteren Schranken für die Steifigkeit von Hadamard-Matrizen und beim Nachweis, dass PP unter Schnittpunkten geschlossen ist (allerdings in umgekehrter chronologischer Reihenfolge :)). Siehe diese Umfrage von Drucker und de Wolf für Referenzen und Diskussion.

Es gibt bestimmte Klassen von Quantentoren, die mit einem klassischen Computer effizient simuliert werden können. Wenn keine Verschränkung vorliegt, kann eine Berechnung mit reinen Zuständen (dh nicht zufälligen Zuständen) effizient simuliert werden. Klassische reversible Gatter sind eine Teilmenge von Quantentoren und können daher offensichtlich effizient simuliert werden. Diese beiden Beispiele sind ziemlich trivial, es sind jedoch eine Reihe nicht-trivialer Gate-Sets bekannt.

1. Tapfere Tore, wie in Josuas Antwort erwähnt
2. Tore der Clifford-Gruppe (siehe arXiv: quant-ph / 0406196 )
3. Spieltore (siehe arXiv: 0804.4050 )
4. Pendeltore usw.

Grundsätzlich sind die meisten Gruppen von Operatoren, die nur einen kleinen Unterraum von erzeugen, in der Regel simulierbar, während alle, die erzeugen, so schwer wie die allgemeine Quantensimulation von N Qubits sind.S U ( 2 N$SU(2^N)$$SU(2^N)$

Es ist sehr unwahrscheinlich, dass die Quantenmechanik effizient simuliert werden kann, weshalb ein solches Dequantisierungsprogramm im Allgemeinen wahrscheinlich unmöglich sein wird. Es gibt jedoch ein Regime, in dem dies funktioniert hat, nämlich interaktive Beweise. Es hat sich gezeigt, dass verschiedene Arten interaktiver Beweissysteme mit Quantenverifizierern die gleiche Leistung haben, wenn der Quantenverifizierer durch einen rein klassischen Verifizierer ersetzt wird. Ein Beispiel dafür finden Sie in Jain, Ji, Upadhyay und Watrous 'Beweis, dass QIP = PSPACE ( arXiv: 0907.4737 ).

Eine interessante Umgebung für das Studium der "Dequantisierung" ist die Komplexität der Kommunikation. Hier ist eine interessante Frage, ob eine Obergrenze für das Ausmaß der Verflechtung festgelegt werden kann, das Alice und Bob teilen müssen, um ein effizientes Quantenprotokoll zur Lösung eines Problems zu erhalten. Dies wäre ein Quantenanalog von Newmans Theorem aus der klassischen Kommunikationskomplexität. Gavinsky hat gegeben ein relationales Problem , für die dies nicht getan werden kann, aber soweit ich weiß, das ist immer noch offen für (gesamt) funktionelle Probleme.

Ein Nachtrag zu Joes Kommentar zu Pendeltoren: Bremner, Jozsa und Shepherd haben kürzlich gezeigt (arXiv: 1005.1407), dass ein bestimmter Begriff von Pendelkreisen wahrscheinlich nicht simulierbar ist, da dies die Polynomhierarchie auf die dritte Ebene bringen würde.

Obwohl eine "Dequantisierung" im Allgemeinen unwahrscheinlich ist, glaube ich, dass diese Art von Idee dazu beigetragen hat, Valiants holographische Algorithmen zu inspirieren. Zumindest kann man seine Arbeit als partielles Dequantisierungsergebnis für eingeschränkte Klassen von Quantenschaltungen betrachten. Siehe zum Beispiel: L. Valiant. Quantenschaltungen, die klassisch in Polynomialzeit simuliert werden können. SIAM J. Comput. 31 (4) 1229-1254 (2002).