Auf die Sensitivitätsvermutung?

Die jüngste Herstellung der Beziehung $bs(f)=O(s(f)^4)$ geht durch Gotsman, Linial .

Kann der gleiche Ansatz zu oder gibt es eine wesentliche Einschränkung des Ansatzes? $O(s(f)^2)$

cc.complexity-theory boolean-functions

— T ....
quelle

Dies wird in den abschließenden Bemerkungen von Hao Huangs Artikel (unter dem dritten Punkt) erörtert. Huang schreibt: "Vielleicht könnte man diese Lücke schließen, indem man die Spektralmethode direkt auf Boolesche Funktionen anstatt auf die Hyperwürfel anwendet."

— Gamow

Aus dem Papier: Was tatsächlich bewiesen ist, ist in Satz 1.4 das nicht verbessert werden kann (es ist für einige Funktionen eng). Dann wird es mit dem zuvor bekannten Ergebnis von Nisan und Szegedy [1] kombiniert, (eine Trennung, nach der Sie übrigens vor einigen Jahren gefragt haben ). Aus dieser Umfrage [2] (siehe Tabelle 1) geht hervor, dass die Referenzierung [3], (2) nicht über hinaus verbessert werden kann, wobei . Dieser Weg, den Abschluss als Proxy zu verwenden, kann es also nicht

\begin{matrix} (1) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, s (f) \geq \sqrt{\deg f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad s(f) \geq \sqrt{\deg f} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2} bs f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2}\operatorname{bs} f} \tag{2}$

bs f ≳ (\deg f)^{\log_{3} 6}

$\operatorname{bs} f \gtrsim (\deg f)^{\log_3 6}$

\log_{3} 6 \approx 1.63

$\log_3 6 \approx 1.63$ Geben Sie eine quadratische Empfindlichkeitsobergrenze für die Blockempfindlichkeit an.

Andererseits ist es möglich, dass die Verwendung ähnlicher Techniken (dh das Verschachteln von Eigenwerten vorzeichenbehafteter Matrizen), jedoch auf unterschiedlichen Objekten (in erster Linie ohne Verwendung des Grades als Proxy) zu schärferen Grenzen führen kann. Dies wird in Huangs Artikel [4] ausdrücklich als offene Frage angegeben:

Vielleicht könnte man diese [quadratische vs. quartische] Lücke schließen, indem man die Spektralmethode direkt auf Boolesche Funktionen anstatt auf die Hyperwürfel anwendet.

[1] Noam Nisan und Mario Szegedy. Über den Grad der Booleschen Funktionen als echte Polynome . Comput. Complexity, 4: 462–467, 1992. doi: 10.1007 / BF01263419

[2] Pooya Hatami, Raghav Kulkarni und Denis Pankratov, Variationen der Sensitivitätsvermutung. Theory of Computing Graduate Survey, 2011. https://theoryofcomputing.org/articles/gs004/

[3] Noam Nisan und Avi Wigderson. Auf Rang vs. Kommunikationskomplexität . Combinatorica, 15: 557–565, 1995. doi: 10.1007 / BF01192527

[4] Hao Huang. Induzierte Teilgraphen von Hyperwürfeln und ein Beweis für die Sensitivitätsvermutung. arXiv: 1907.00847, 2019. https://arxiv.org/abs/1907.00847

— Clement C.
quelle