Effizienter Graphisomorphismus für ähnliche Graphabfragen

Angesichts des Graphen G1, G2 und G3 wollen wir den Isomorphismustest F zwischen G1 und G2 sowie zwischen G1 und G3 durchführen. Wenn G2 und G3 sehr ähnlich sind, so dass G3 durch Löschen eines Knotens und Einfügen eines Knotens aus G2 gebildet wird und wir das Ergebnis von F (G1, G2) haben, können wir F (G1, G3) berechnen, ohne es von Grund auf neu zu berechnen durch die Erweiterung bestehender Methoden auf dem neuesten Stand der Technik?

Wenn beispielsweise G2 durch die Knoten 2,3,4,5 und G3 durch die Knoten 3,4,5,6 gebildet wird, können wir das Ergebnis von F (G1, G2) verwenden, um F (G1, G3) effizienter?

graph-theory graph-algorithms graph-isomorphism

— Eric Huang
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Ich habe momentan kein Argument. Mein Bauchgefühl ist jedoch, dass Ihr Problem moralisch mit der Rekonstruktionsvermutung zusammenhängt ( en.wikipedia.org/wiki/Reconstruction_conjecture ).

— Yixin Cao

Dies ist eine einfache Polynomzeitverkürzung, um zu zeigen, dass das Problem GI vollständig ist : Selbst wenn Sie wissen, dass $G_1, G_2$ isomorph sind, prüfen Sie, ob $G_3$ , das aus dem Löschen und Hinzufügen eines Knotens durch $G_2$ ist, isomorph zu $G_1$ ist so hart wie der Graphisomorphismus selbst (im schlimmsten Fall).

Bei zwei Graphen $G = (V, E), G'= (V', E')$ bauen

$G_1 = ( V \cup V' \cup \{u\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i,u) \mid v_i \in V \})$

dh die Vereinigung der beiden Graphen plus einen zusätzlichen Knoten $u$ mit allen Eckpunkten von $V$

wähle $G_2 = G_1$ ; und eindeutig sind sie isomorph.

Nun bauen $G_3$ Löschen von $u$ und Hinzufügen $u'$ verbunden zu allen Eckpunkten $V'$ :

$G_3 = ( V \cup V' \cup \{u'\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i',u') \mid v_i' \in V'\} )$

$G_1, G_3$ sind isomorph, wenn $G, G'$ isomorph sind.

— Marzio De Biasi
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Das ist eine schöne Ermäßigung! Ich möchte jedoch hinzufügen, dass die Vollständigkeit des GI allein nicht unbedingt bedeutet, dass es keinen Vorteil gibt, sondern nur, dass ihre Komplexität im schlimmsten Fall polynomisch zusammenhängt. Beachten Sie als weiteres Beispiel, dass der vertexfarbene GI ebenfalls GI-vollständig ist, aber die meisten mir bekannten Algorithmen können die Vertexfarben auf nützliche Weise nutzen.

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow: Danke, ich habe diesen Punkt klargestellt.

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi: Danke für die Erklärungen. Nach meinem Verständnis Ihrer Erklärungen können wir keinen Vorteil daraus ziehen, F (G1, G3) zu berechnen, wenn wir F (G1, G2) kennen, wenn die mit u und u 'verbundenen Eckpunkte unterschiedlich sind (nicht unbedingt mit allen Eckpunkten von V oder verbunden sind) V ') auch wenn wir wissen, dass G und G' isomorph sind. Ist das korrekt? Ist dieses Problem in diesem Fall so schwierig wie der Graphisomorphismus selbst?

— Eric Huang

G_{1}, G_{2}

$G_1, G_2$

G_{3}

$G_3$

G_{2}

$G_2$

G_{1}, G_{3}

$G_1, G_3$

G_{3}

$G_3$

G_{1}, G_{3}

$G_1,G_3$

— Marzio De Biasi

Sie können die Weisfeiler-Lehman-Methode oder ihre Variationen ausprobieren, insbesondere wenn Ihre ursprünglichen Diagramme Strukturen wie Planar-, Baum-, Intervall- oder begrenzte Baumbreitendiagramme aufweisen. Ihre Weisfeiler-Lehman-Dimension ist im Verfeinerungsschritt eine kleine Konstante Nutzen Sie die Beziehung zwischen den beiden Diagrammen.

— Rupei Xu