Mathematische Analyse und rechnerische Komplexität?

Rechenkomplexität beinhaltet große Mengen an Kombinatorik und Zahlentheorie, einige Ingridiences aus der Stochastik und eine aufkommende Menge an Algebra.

Als Analysist frage ich mich jedoch, ob es in diesem Bereich Anwendungen der Analyse gibt oder vielleicht Ideen, die von der Analyse inspiriert sind. Alles was ich weiß, was dem etwas entspricht, ist die Fouriertransformation auf endlichen Gruppen.

Kannst du mir helfen?

Flajolet und Sedgewick veröffentlichten das Buch "Analytic Combinatorics" http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html . Ich weiß nicht viel über dieses Thema, aber die Leute auf dem Gebiet verwenden Werkzeuge aus komplexen Analysen. Bisher scheinen sich ihre Anwendungen meines Erachtens eher auf die Analyse von Algorithmen zu konzentrieren, nicht auf die Komplexität von Berechnungen.

Monte-Carlo-Algorithmen der Markov-Kette sind ein nützliches Werkzeug zum Auffinden von Approximationsalgorithmen. Einige Techniken, mit denen gezeigt werden kann, dass diese Markov-Kettenmischung von der Analyse inspiriert ist oder direkt aus dieser stammt, finden Sie beispielsweise im Kapitel über die Schätzung des Volumens eines konvexen Körpers in Mark Jerrums Buch über das Zählen .

Es gibt analytische Ansätze für Szemerédis Lemma, die sich hervorragend für kombinatorische Eigenschaftstests eignen. Szemerédis Lemma for the Analyst verfügt über einen randomisierten Algorithmus zum Auffinden einer schwach regelmäßigen Partition eines Graphen. Siehe auch Grafikgrenzen und Parametertests .

Die Funktionsanalyse spielt in der Theorie der metrischen Einbettungen eine immer wichtigere Rolle. Während es schwierig ist, alle Aspekte der Interaktion aufzuzählen, ist das Hauptthema die Verwendung von Methoden aus der Funktionsanalyse, um zu verstehen, wie Metriken in normierte Räume eingebettet werden. Dieses letztere Problem tritt bei dem dünnsten Schnittproblem auf, bei dem es sich um ein wichtiges Graphoptimierungsproblem handelt.

Für weitere Informationen ist alles von Assaf Naor eine gute Quelle .

Nicht über rechnerische Komplexität, aber dennoch interessant

Einige Ansätze zur Semantik der unendlichen Berechnung basieren auf metrischen Räumen. Wenn Sie die "metrische Raumsemantik" googeln, wird eine Menge angezeigt. Eine (althergebrachte) Referenz zu diesem Thema ist Control Flow Semantics von de Bakker und de Vink. Einige neuere Arbeiten wurden von unserem eigenen Neel durchgeführt , nämlich Ultrametrische Semantik für reaktive Programme . Das Gebiet unterscheidet sich stark von den oben beschriebenen, aber Konzepte aus der Analyse finden hier sicherlich ihre Heimat.

Die von Jack Lutz entwickelte ressourcengebundene Maßtheorie ist ein großartiger Bereich, an dem Menschen mit Hintergrundwissen in der Analyse arbeiten können. Das Originalpapier

Fast überall hohe ungleichmäßige Komplexität , Jack H. Lutz, Journal of Computer and System Sciences, 1992.

Verallgemeinern Sie den Begriff der Lebesgue-Messung in Komplexitätsklassen, und viele der folgenden Werke sind im Internet zu finden.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE}$$\Omega(2^n/n)$$\mathsf{ESPACE}$

Menschen , die in verschiedenen Bereichen der Informatik arbeiten kann aus verschiedenen profitieren Subfelder der Analyse.

Um Ihnen ein konkretes Beispiel zu geben, beschreibe ich meinen eigenen Fall. Ich forsche an Grundlagen der Kryptographie. In diesem Bereich (wie auch in der Komplexität der Berechnungen) gibt es ein Konstrukt namens Zufallsorakel (siehe auch diese Seite) ). Die verschiedenen Eigenschaften werden manchmal mithilfe von Instrumenten aus der Maßtheorie untersucht , die ein Teilgebiet der Analyse ist. Eine solche Behandlung findet sich in dieser Veröffentlichung sowie in mehreren Veröffentlichungen, in denen sie zitiert wird.

Sie können sich auch Grundlagen der Algebra und Analysis for Computer Science von Jean Gallier ansehen . Es ist ein Buch in Arbeit und zeigt Ihnen, was es Neues auf dem Gebiet gibt.

Ich glaube, die beste Verbindung zwischen mathematischer Analyse und Komplexitätstheorie besteht im realen Rechenmodell von Blum et al. Es ist immer noch ein offenes Problem, NP_R von P_R zu trennen, wo die beiden Klassen im realen Berechnungsmodell definiert sind, in dem jede reale Zahl eine Entität ist und eine reguläre Operation (+, -, *, /) einen Schritt dauert.