Kann man einen Nachbarn eines Scheitelpunkts in der Grafik eines Polytops effizient und gleichmäßig abtasten?

Ich habe ein Polytop $P$ das durch $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ .

Frage: Gibt es einen Polynom-Zeit-Algorithmus, um bei gegebenem Scheitelpunkt $v$ von $P$ gleichmäßig von den Nachbarn von $v$ im Graphen von $P$ ? (Polynom in der Dimension, die Anzahl der Gleichungen und die Darstellung von $b$ . Ich kann davon ausgehen, dass die Anzahl der Gleichungen in der Dimension polynom ist.)

Update: Ich denke, ich konnte zeigen, dass dies NP-schwer ist, siehe meine Antwort, die das Argument erklärt. (Und mit $NP$ -hard meine ich, dass ein polynomieller Zeitalgorithmus beweisen würde, dass $RP = NP$ ... nicht sicher ist, welche Terminologie hier richtig ist.)

Update 2: Es gibt eine 2 line Nachweis von $NP$ -Härte (angesichts der richtigen kombi Polytop) und ich konnte es einen Artikel von Khachiyan finden. Siehe Antwort für Beschreibung und Link. :-D

Ein gleichwertiges Problem :

In den Kommentaren wies Peter Shor darauf hin, dass diese Frage gleichbedeutend ist mit der Frage, ob wir gleichmäßig von den Eckpunkten eines gegebenen Polytops abtasten können. (Ich denke, die Äquivalenz sieht folgendermaßen aus: In einer Richtung können wir von einem Polytop $P$ mit einem Scheitelpunkt $v$ zu der Scheitelpunktzahl bei $v$ , $P/v$ , und das Abtasten der Scheitelpunkte von $P/v$ entspricht dem Abtasten der Nachbarn von $v$ auf $P$ In der anderen Richtung können wir von einem Polytop $P$ zu einem Polytop $Q$ einer höheren Dimension übergehen, indem wir einen Kegel mit der Spitze $v$ und der Basis P hinzufügen$P$. Dann ist das Abtasten der Nachbarn von $v$ in $Q$ gleichbedeutend mit dem Abtasten der Eckpunkte von $P$ )

Diese Formulierung der Frage wurde zuvor gestellt: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

Edit 2: Peinlicherweise gibt es einen zweizeiligen Beweis für die $NP$ -Härte, wenn man mit dem richtigen Polytop beginnt.

Denken Sie zunächst an das Zirkulationspolytop eines Diagramms am Ende von Seite 4 von Die Generierung aller Eckpunkte eines Polyeders ist schwierig .

Ihre Scheitelpunkte stimmen bijektiv mit den gerichteten einfachen Zyklen überein. Daher sind sie nach JVV Proposition 5.1 nur schwer zu erfassen oder zu zählen . :-D

Ausgestattet mit diesen Schlüsselwörtern konnte ich die Härte des Stichprobenergebnisses als Satz 1 von Transversalen Hypergraphen und Familien polyedrischer Kegel von Khachiyan finden.

Edit: Ich habe das folgende Argument aufgeschrieben, und es scheint korrekt zu sein. Es gibt jedoch ein viel einfacheres Argument, das ich hier skizzieren werde:

a) Durch Analyse von Backtrack-Algorithmen zur Auflistung aller Eckpunkte und aller Flächen eines konvexen Polyeders (Fukuda et al.) ist es stark schwierig, das folgende Problem auf Polytopen zu lösen:

Eingabe: Ein Polytop $Ax = b , x \geq 0$ in $\mathbb{R}^n$ eine Teilmenge$S \subseteq n$

Ausgabe: Gibt an, ob es einen Scheitelpunkt $v$ von $P$ , der für jede der Koordinaten in $S$ ungleich Null ist .

b) Vor diesem Hintergrund kann man die folgende Konstruktion erstellen : neue Variablen $y_{ik}$ für $i \in S$ und $k = 1, \ldots, d$ einführen und die Ungleichung $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ einführen . Rufen Sie das resultierende Polytop $P_{S,d}$ . Der Zweck dieser Konstruktion besteht darin, über jedem Scheitelpunkt einen Hyperwürfel der Dimension $d |supp(x) \cap S|$ einzuführen s u p p ( x ) ∩ S | .

c) Man kann überprüfen, dass die Eckpunkte dieses Polytops alle über den Eckpunkten des alten Polytops liegen und dass die Anzahl der Eckpunkte über einem Eckpunkt $2^{d | supp(x) \cap S|}$ beträgt s u p p ( x ) ∩ S | , wobei $supp$ die Funktion ist, die einen Scheitelpunkt zu den Koordinaten sendet, bei denen er ungleich Null ist.

d) durch eine übliche Kette von bigons Typ Argumente folgt, daß , indem man $d$ ausreichend groß ist , eine gleichförmige Probe , die von den Scheitelpunkten $P_{S,d}$ würde (mit hohen Wahrscheinlichkeit) einer Probe aus dem Scheitel gibt die Größe ihrer Kreuzung mit der maximiert $S$ .

Es scheint verschiedene Erweiterungen zu geben. Ich werde mit einem Link aktualisieren, wenn das Schreiben abgeschlossen ist.

(Das alte Argument war früher hier - es befindet sich im Bearbeitungsverlauf. Ich habe es entfernt, weil es sehr lang ist und die Suche nach der richtigen Antwort auf die Frage behindert.)