Das Problem der Entscheidung, ob ein monotoner CNF einen monotonen DNF impliziert

Betrachten Sie das folgende Entscheidungsproblem

Eingabe : Ein monotoner CNF und ein monotoner DNF . $\Phi$ $\Psi$

Frage : Ist eine Tautologie? $\Phi \to \Psi$

Definitiv können Sie dieses Problem in lösen, wobei die Anzahl der Variablen in und die Länge der Eingabe ist. Andererseits ist dieses Problem coNP-vollständig. Darüber hinaus zeigt eine Reduktion, die die CoNP-Vollständigkeit feststellt, auch, dass es für dieses Problem keinen -Zeitalgorithmus gibt, sofern SETH nicht ausfällt (Dies gilt für alle positiven ). Hier ist diese Reduktion. Sei ein (nicht monotoner) CNF und sei seine Variable. Ersetze jedes positive Vorkommen von durch $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ $n$ $\Phi \to \Psi$ $l$ $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ $\varepsilon$ $A$ $x$ $x$ $y$ und jedes negative Vorkommen von durch . Machen Sie dasselbe für jede Variable. Der resultierende monotone CNF sei . Es ist leicht zu erkennen, dass erfüllt werden kann, wenn keine Tautologie ist. Diese Reduktion vergrößert die Anzahl der Variablen um den Faktor 2, was die oben erwähnte untere Grenze von (SETH-basiert) impliziert . $x$ $z$ $\Phi$ $A$ $\Phi \to yz \lor \ldots$ $2^{n/2}$

Es besteht also eine Lücke zwischen und Zeit. Meine Frage ist, ob ein besserer Algorithmus oder eine bessere Reduktion von SETH bekannt ist? $2^{n/2}$ $2^n$

Nur zwei Bemerkungen, die anscheinend mit dem Problem zusammenhängen:

Ein umgekehrtes Problem, ob ein monotoner DNF einen monotonen CNF impliziert, ist in der Polynomzeit trivial lösbar.
Interessanterweise kann das Problem der Entscheidung, ob $\Phi$ und dieselbe Funktion $\Psi$ berechnen, durch Fredman und Khachiyan in quasi-polynomialer Zeit gelöst werden (On the Complexity of Dualization of Monotone Disjunctive Normal Forms, Journal of Algorithms 21 (1996), No. 3, S. 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 )

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Sasha Kozachinskiy
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Angenommen, SETH ist das Problem nicht in der Zeit für jedes lösbar . $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

Lassen Sie mich zunächst zeigen, dass dies für das allgemeinere Problem gilt, bei dem und beliebige monotone Formeln sein können. In diesem Fall gibt es eine zeitlich mehrmalige Reduzierung von TAUT auf das Problem, bei dem die Anzahl der Variablen erhalten bleibt. Sei die Schwellenfunktion Unter Verwendung des Ajtai-Komlós-Szemerédi- kann durch eine monotone Formel in Polynomgröße geschrieben werden, die in time konstruiert werden kann . $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

Bei einer gegebenen Booleschen Formel können wir De Morgan-Regeln verwenden, um sie in der Form wobei monoton ist. Dann ist genau dann eine Tautologie, wenn die monotonen Implikationen sind für jedes gültig , wobei $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

Für die Links-Rechts-Implikation sei eine Zuweisung, die , dh mit mindestens Einsen. Es gibt mit genau Einsen. Dann , also impliziert . Da dies eine monotone Formel ist, haben wir auch . Die Implikation von rechts nach links ist ähnlich. $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

Lassen Sie mich nun zum ursprünglichen Problem zurückkehren. I werde die folgende zeigen: Wenn das Problem in der Zeit auflösbar ist , dann für jeden , -DNF-TAUE (oder dually, -SAT) lösbar in Zeit . Dies impliziert wenn SETH gilt. $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

Nehmen wir also an, wir erhalten ein -DNF wobei für jedes . Wir teilen die Variablen in Blöcke der Größe $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

. Durch das gleiche Argumentwie oben,

ist ein tautology wenn und nur wenn die Auswirkungen

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

gilt für jeden

-Tupel

, wobei für jedes

, definieren wir

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

Wir können

als monotonen CNF der Größe

schreiben, daher ist die LHS von

ein monotoner CNF der Größe

. Auf der rechten Seite können wir

schreiben

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$ als monotone DNF der Größe

. Somit kann unter Verwendung Verteilbarkeit, die jeweils disjunkt der RHS kann als monotonen DNF der Größe geschrieben werden

, und die ganze RHS ist eine DNF der Größe

. Daraus folgt, dass

ein Beispiel für unser Problem der Größe

Variablen ist. Angenommen, wir überprüfen die Gültigkeit in der Zeit

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$

. Wir wiederholen diese Prüfung für alle

Auswahl von

, wodurch die Gesamtzeit ist

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

wie beansprucht.

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

Wir erhalten eine engere Verbindung mit der (S) ETH, indem wir die Version des Problems mit begrenzter Breite betrachten: Für bezeichnen MonImp die Einschränkung des Problems, wobei ein CNF und ein a ist -DNF. Die (S) ETH betrifft die Konstanten $k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$

b

$b$

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$

k \geq 3

$k\ge3$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica
quelle

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$

d

$d$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ . Siehe z . B. cstheory.stackexchange.com/q/14700 . Ich werde überlegen müssen, ob Sie sie monoton machen können, aber das klingt plausibel.

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

IN ORDNUNG. Erstens funktioniert die generische Konstruktion in der monotonen Einstellung einwandfrei: Wenn eine Funktion monotone Polygrößenformeln hat, hat sie Tiefenschärfe.

d

$d$ monotone Schaltkreise der Größe

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ für jeden

d \geq 2

$d\ge2$ . Zweitens für

T_{k}^{n}

$T^n_k$ Insbesondere ist es einfach, monotone Tiefen-

3

$3$ Schaltkreise der Größe

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ durch Aufteilen der Eingabe in Blöcke der Größe

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ .

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Tatsächlich gibt es, wenn man diese Idee ein wenig weiter treibt, eine Antwort auf die ursprüngliche Frage: Unter der Annahme von SETH gilt die untere Schranke bereits für

Φ

$\Phi$ monotoner CNF und

Ψ

$\Psi$ monotone DNF. Ich werde es später aufschreiben.

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Ich würde vermuten, dass Sie alle Variablen in etwa teilen können

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ Blöcke

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ und dann schreibe

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ für jeden

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ . Sie können verwenden

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ -Größe CNF für jede Schwellenwertfunktion. Aber dann auf der rechten Seite haben Sie nicht DNF, sondern eine Formel der Tiefe 3 ...

— Sasha Kozachinskiy