Min. Gewicht, perfekt passend zu einer geraden Anzahl roter Kanten

Betrachten Sie ein gewichtetes Diagramm mit einigen roten Rändern. Wir sind daran interessiert, eine perfekte Übereinstimmung zu finden, so dass die Anzahl der roten Kanten gerade ist und unter den vorherigen Einschränkungen das Gewicht minimiert wird.

Ist dieses Problem in Polynomzeit lösbar? Auch für zweigeteilte Graphen?

Was ist mit einer natürlichen Erweiterung? Der Fall, in dem es eine konstante Anzahl von Farben gibt und die Anzahl der Kanten jeder Farbe in der Übereinstimmung gerade sein muss.

Ich denke, Ihr Problem ist in zufälliger Polynomzeit lösbar, wenn die Gewichte in der Größe des Graphen polynomiell begrenzt sind. Sie können einen Ansatz verwenden, der auf dem algebraischen Matching-Algorithmus von Mulmuley, Vazirani und Vazirani basiert. Es war in der Vergangenheit für ähnliche Anwendungen nützlich, siehe zum Beispiel Satz 9 und die vorangegangene Diskussion in Daniel Marx 'Artikel https://doi.org/10.1016/j.ipl.2003.09.016 .

$n$$W$$(nW+1) + x$$[0 ... nW]$$[2(nW+1) ... 2(nW+1) + nW]$

Um eine Übereinstimmung des Mindestgewichts mit einer geraden Anzahl roter Kanten zu finden, reicht es daher aus, alle Gewichtsbereiche zu durchlaufen, die Übereinstimmungen mit einer geraden Anzahl roter Kanten entsprechen, und für jedes Gewicht in diesem Bereich zu testen, ob eine perfekte Übereinstimmung von vorliegt dieses Gewicht und Skalieren des Gewichts jedes neu gewichteten Matching-Backs basierend auf der Anzahl der darin enthaltenen roten Ränder, um herauszufinden, welche davon der perfekten Übereinstimmung mit minimalem Gewicht und gleichem Rot in Ihrem Originaldiagramm entspricht. Mit Standard-Selbstreduktionstechniken können Sie dann auch das Matching selbst extrahieren und nicht nur den Wert. Möglicherweise müssen Sie jedoch die Erfolgswahrscheinlichkeit erhöhen, indem Sie mehrere Versuche durchführen, um eine insgesamt gute Erfolgswahrscheinlichkeit bei der Selbstreduktion zu erhalten.

Das Problem ist die lösbare Polynomzeit.

Nach einer Diskussion mit Vivek Madan können wir zeigen, dass der Beweis von Satz 5.1 in Perfect Matching in Bipartite Planar Graphs in UL auch im gewichteten Kontext funktioniert (das Ergebnis ist die Entscheidung, ob es eine praktikable Lösung gibt).

$R$$M$$|M\cap R|$$C$$M$$|C\cap R|$$M$$M\triangle C$

$M\triangle C$

Das Problem reduziert sich darauf, einen Wechselzyklus zu finden, der eine ungerade Anzahl roter Kanten enthält.

Bei zweigeteilten Graphen ist das Problem einfach, da es auf das Finden eines ungeraden Zyklus mit minimalem Gewicht in einem gerichteten Graphen ohne negative Zyklen reduziert werden kann. Was in der Polynomzeit durch verschiedene Berichte lösbar zu sein scheint (aber ich kann kein konkretes Zitat finden). Ein Floyd-Warshall-ähnlicher Algorithmus ist ausreichend. Für allgemeine Diagramme funktioniert ein ähnlicher Ansatz, die Reduzierung ist jedoch etwas komplizierter. Wir wissen eigentlich nicht, wie wir das für allgemeine Grafiken machen sollen.

Beachten Sie, dass der Fall eines zweigliedrigen Graphen tatsächlich aus einem allgemeineren Satz folgt. Hier zitieren wir direkt das folgende Problem von Artmann, Weismantel, Zenklusen 17

Paritäts-TU-Optimierung

$T$$rank(T)=n$$b\in > \mathbb{Z}^m,c\in \mathbb{Z}^n,\alpha\in \{0,1\}$$S\subset [n]$

$$\max\{c^T x: Tx\leq b, x\in \mathbb{Z}^n_{\geq 0}, x(S)\equiv \alpha \pmod 2\}$$

Die Paritäts-TU-Optimierung kann in Polynomzeit gelöst werden, und der zweigliedrige Fall unseres Problems reduziert sich darauf. (Beachten Sie, dass der leicht erfüllt werden kann, indem für alle erforderlich ist .)$rank(T)=n$$x_i\geq 0$$i$

Wir haben keine Ahnung, in welchem ​​Fall eine konstante Anzahl von Farben vorliegt.