Wie breit ist das 3D-Gitter (Gitter oder Gitter) mit der Seitenlänge k?

Ich habe diese Frage vor einigen Wochen bei mathoverflow gestellt , aber keine Antwort erhalten.

Hier meine ich mit 3D-Gitter der Seitenlänge den Graphen G = ( V , E ) mit V = { 1 , … , k } 3 und E = { ( ( a , b , c ) , ( x , y , z ) ) ∣ | a - x | + | b - y | + | $k$$G=(V,E)$$V= \{1,\ldots,k\}^3$ , dh die Knoten liegen an dreidimensionalen Ganzzahlkoordinaten zwischen 1 und k , und ein Knoten ist mit höchstens 6 anderen Knoten verbunden, die sich in genau einer Koordinate um eine unterscheiden.$E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$$k$

Wie heißt dieses Diagramm? Ich werde 3D-Gitter verwenden, aber vielleicht sind 3D-Gitter oder 3D-Gitter das, was andere Leute gewohnt sind.

Wie breit oder breit ist dieser Graph? Wird das schon irgendwo veröffentlicht?

Ich weiß schon , dass , dh es ist wirklich kleiner als k 2 . Für mich deutet dies darauf hin, dass sich die Standardargumente, die zeigen, dass das k × k- 2D-Gitter eine Baumbreite und eine Pfadbreite k aufweist , nicht leicht verallgemeinern lassen.$tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$$k^2$$k\times k$$k$

Um dies zu sehen, betrachten wir eine Pfadzerlegung, die das Gitter hauptsächlich unter Verwendung von Knotensätzen der Form "abtastet" . Beachten Sie | S c | ≤ ( 3 / 4 ) k 2 + O ( k ) , S 3 / 2 k die größte derartige eingestellt wird. Die Mengen zwischen S c und$S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$$|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$$S_{3/2 k}$$S_c$ werden durch Abtasten mit einer Linie erzeugt und benötigen O ( k ) zusätzliche Knoten als Trennzeichen. Genauer gesagt, benutze die Mengen S c , d = { ( x , y , z ) ∣ ( x + y + z = c ∧ x ≤ d ) ∨ ( x + y + z = c ∧ x ≥ d ) $S_{c+1}$$O(k)$$S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$als Weg Zersetzung von .$G$

Ich habe auch eine Idee für einen Beweis, der , der aber noch nicht fertig ist.$tw(G) = \Omega(k^2)$

Die Pfadbreite von kann als eine Folge einiger bekannter Ergebnisse bestimmt werden. FitzGerald [2] zeigen , dass die Bandbreite der P 3 k ist ⌊ $P^3_k$$P^3_k$. Harper [3] zeigte eine Bedingung, bei der die Pfadbreite und Bandbreite eines Graphen gleich sind, wenn dieser die Bedingung erfüllt. Moghadam [4,5] und Bollobás und Leader [1] zeigten unabhängig voneinander, dass jedes mehrdimensionale Gitter Harpers Bedingung erfüllt. Diese Ergebnisse implizieren, dass die Pfadbreite vonP 3 k ebenfalls≤$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$$P^3_k$.$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

In unserem von Hsien-Chih erwähnten Aufsatz haben wir das Ergebnis von FitzGerald verallgemeinert, wie Yoshio erklärte. Ich glaube, die Baumbreite von ist nicht bekannt.$P^3_k$

Zu Ihrer Information: Ich habe gerade eine englische Version unseres Papiers an arXiv gesendet.

1. B. Bollobás und I. Leader, Kompressionen und isoperimetrische Ungleichungen, J. Combin. Theory Ser. A 56 (1991) 47-62.
2. CH FitzGerald, Optimale Indizierung der Scheitelpunkte von Graphen, Math. Comp. 28 (1974), 825 & ndash; 831.
3. LH Harper, Optimale Nummerierungen und isoperimetrische Probleme in Graphen, J. Combin. Theory 1 (1966) 385 & ndash; 393.
4. HS Moghadam, Komprimierungsoperatoren und eine Lösung für das Bandbreitenproblem des Produkts von Pfaden, Ph.D. Diplomarbeit, Universität von Kalifornien, Riverside (1983).$n$
5. HS Moghadam, Bandbreite des Produkts von Pfaden, Congr. Nummer. 173 (2005) 3-15.$n$

Die Pfadbreite von 3D-Gittern wurde von Ryohei Suda, Yota Otachi und Koichi Yamazaki in der Arbeit Pathwidth of 3-dimensional grids , IEICE Tech, untersucht. Bericht, 2009.

Es wird in der Zusammenfassung des Papiers behauptet, dass

In diesem Artikel geben wir die Pfadbreite von dreidimensionalen Gittern in geschlossener Form an, indem wir deren Scheitelpunkt-Grenzbreite bestimmen.

Die genaue Grenze ist jedoch nicht in der Zusammenfassung angegeben, und ich kann derzeit nicht auf das vollständige Papier zugreifen. Vielleicht können Sie sich privat an die Autoren wenden und diese Frage selbst beantworten, wenn die Autoren bereit sind, das Ergebnis mitzuteilen.