Das Problem der Summe der Quadratwurzeln fragt bei zwei Folgen und von positiven ganzen Zahlen, ob die Summe kleiner, gleich oder größer ist als die Summe \ sum_i \ sqrt {b_i} . Der Komplexitätsstatus dieses Problems ist offen. Weitere Details finden Sie in diesem Beitrag . Dieses Problem tritt natürlich in der Berechnungsgeometrie auf, insbesondere bei Problemen mit euklidischen kürzesten Wegen, und ist ein bedeutender Stolperstein beim Übertragen von Algorithmen für diese Probleme vom realen RAM zum Standard-Integer-RAM.b 1 , b 2 , … , b n ∑ i √
Nennen Sie ein Problem Π Summe der Quadratwurzeln hart (abgekürzt Σ√ hart?), Wenn sich die Polynomzeit von der Summe der Quadratwurzeln auf Π verringert. Es ist nicht schwer zu beweisen, dass das folgende Problem die Summe der Quadratwurzeln ist:
Kürzeste Pfade in 4d euklidischen geometrischen Diagrammen
Instanz: Ein Graph dessen Eckpunkte Punkte in , deren Kanten mit euklidischem Abstand gewichtet sind; zwei Ecken undZ 4 s t
Ausgang: Der kürzeste Weg von nach in .t G
Natürlich kann dieses Problem in Polynomialzeit auf dem realen RAM unter Verwendung des Dijkstra-Algorithmus gelöst werden, aber jeder Vergleich in diesem Algorithmus erfordert die Lösung eines Quadratwurzelsummenproblems. Die Reduktion verwendet die Tatsache, dass eine beliebige Ganzzahl als Summe von vier perfekten Quadraten geschrieben werden kann. Die Ausgabe der Reduktion ist tatsächlich ein Zyklus auf Eckpunkten.
Welche anderen Probleme sind wurzelhart? Ich interessiere mich besonders für Probleme, für die es eine polynomielle Lösung für den realen Arbeitsspeicher gibt. Siehe meine vorherige Frage für eine Möglichkeit.
Wie Robin vorschlägt, sind langweilige Antworten langweilig. Für jede Komplexitätsklasse X, die Quadratwurzelsummen enthält (z. B. PSPACE oder EXPTIME), ist jedes X-harte Problem langweilig Quadratwurzelsummen-hart.