Die maximale Übereinstimmung M mit der Bedingung G [M] ist 2K_2-frei

Gibt es in der Literatur etwas in der Nähe des folgenden Problems:

Gibt es bei einem zweigeteilten Graphen mit ausgeglichener Zweiteiligkeit { U , W } eine perfekt passende M in G, so dass für jeweils 2 Kanten u 1 w 1 , u 2 w 2 ∈ M eine Kante vorhanden ist u 1 w 2 oder Kante u 2 w 1 (oder beides) in G ?$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

Mit anderen Worten gibt es eine perfekte Abstimmung , so dass die induzierte Teilgraph G [ M ] ist 2 K 2 -frei. (Mit ausgeglichener Zweiteilung meinte ich | U | = | W | .)$M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

Die zusätzliche Bedingung ist so etwas wie ein entgegengesetztes Extrem zu dem, das beim induzierten Matching-Problem verwendet wird. Ein anderes möglicherweise verwandtes Problem ist das Problem, eine maximale Größenanpassung in dem zweigeteilten Graphen G zu finden, so dass die Kontraktion der Kanten in M die Anzahl der im Graphen verbleibenden Kanten minimiert.$M$$G$$M$

Ich habe die Liste der Matching-Probleme von Plummer in Matching und Vertex-Packing überprüft : Wie "schwer" sind sie? ohne Erfolg.

PS: Dieses Problem ist ein Spezialfall dieses Entscheidungsproblem: - Für ein gegebenes gibt es ein maximales Matching M eines zweiteiligen Graphen G , so dass G [ M ] ist 2 K 2 -frei und | M | > k . Wenn der Eingabegraph zweigeteilt ist und k = | U | Wir bekommen das obige Problem.$k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

Vielen Dank.

Überraschung! (für mich).
Diese Art von Übereinstimmungen ist bereits in der Literatur untersucht. Sie werden als verbundene Übereinstimmungen bezeichnet .

Sie wurden von Plummer, Stiebitz und Toft in ihrer Studie über Hadwiger-Vermutungen vorgestellt. Siehe das Kapitel "Connected Matchings" von Cameron im Buch "Combinatorial Optimization - Eureka, You Shrink!"

Der Status der verbundenen Übereinstimmungen in zweigeteilten Graphen (nicht unbedingt ausgewogen) ist nach bestem Wissen offen ( ich werde aktualisieren ). Die gewichtete Version des Problems ist NP-vollständig für zweigeteilte Graphen. Das Problem ist die polynomielle Zeit, die für zweigeteilte Akkordgraphen lösbar ist.

Update: Das Problem ist NP-vollständig für ausgeglichene zweigeteilte Graphen (dh das genaue Problem, das in der Frage gestellt wird). Dies wird in der Arbeit " Multitasking-Kapazität: Härteergebnisse und verbesserte Konstruktionen " von Alon et al. Sie berichten auch, dass es schwierig ist, die Größe eines größten verbundenen Matchings innerhalb eines Faktors von $n^{1-\epsilon}$ zu approximieren, es sei denn, NP = co-RP.

Zuvor hinzugefügte Anmerkungen (für interessierte Personen aufbewahrt):
" Verbundene Übereinstimmungen in zweigeteilten Akkordgraphen " von Jobson et al. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) und " Verbundene Übereinstimmungen in speziellen Familien von Graphen " von Caragianis (These) sind zwei bemerkenswerte Referenzen.

Es gibt einen anderen Weg, diese Frage zu stellen. Gibt es eine perfekt passende eines ausgeglichenen zweigliedrigen Graphen G, so dass jedes Kantenpaar in M in G genau einen Abstand von 1 voneinander hat ? (Der Abstand zwischen den Kanten e und e ' ist die Länge eines kürzesten Weges von einem Scheitelpunkt von e zu einem Scheitelpunkt von e ' ).$M$$G$$M$$G$
$e$$e’$$e$$e’$

Aus diesem Grund reduziert sich die zusätzliche Bedingung darauf, eine Teilmenge von Scheitelpunkten aus dem Liniendiagramm von G zu finden, die paarweise in einem Abstand von genau 2 liegen. Somit besteht das Problem , einen Satz von Scheitelpunkten maximaler Größe in einem Abstand von genau 2 von jedem zu finden Das andere ist ein Kandidatenproblem (um dem fraglichen Problem nahe zu sein). In der kürzlich erschienenen Arbeit über die algorithmischen Aspekte einer starken Subfärbung (von MA Shalu, S. Vijayakumar, S. Devi Yamini und TP Sandhya) nennen sie dieses Problem eine starke Menge.$L(G)$$G$

Es ist bekannt, dass das Stong-Set-Problem in einigen Graphklassen NP-vollständig ist. Ich kenne seinen Status in Liniendiagrammen von zweiteiligen Diagrammen nicht. Das Papier sagt, dass es auf zweiteiligen Graphen NP-vollständig ist. Unser Interesse wird hier in der Klasse der Liniendiagramme von zweigeteilten Graphen liegen.