Wahrscheinlichkeit, dass ein Netzwerk mit zufälliger Sortierung funktioniert

Mit Eingängen wir ein zufälliges Sortiernetz mit Gattern auf, indem wir iterativ zwei Variablen mit und ein Komparatorgatter hinzufügen, das sie vertauscht, wenn . $n$ $x_0, \ldots, x_{n-1}$ $m$ $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

Frage 1 : Für feste , wie groß muss für das Netzwerk mit Wahrscheinlichkeit richtig sortieren sein $n$ $m$ ? $> \frac{1}{2}$

Wir haben mindestens die untere Schranke seit einer Eingabe , die korrekt mit Ausnahme sortiert ist , dass jedes aufeinanderfolgende Paar ausgelagert wird , nehmen Zeit für jedes Paar als Komparator gewählt werden , . Ist das auch die Obergrenze, möglicherweise mit mehr Faktoren? $m = \Omega(n^2 \log n)$ $\Theta(n^2 \log n^2)$ $\log n$

Frage 2 : Gibt es eine Verteilung von Komparatorgattern, die ergibt, möglicherweise durch Auswahl enger Komparatoren mit höherer Wahrscheinlichkeit? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— Geoffrey Irving
quelle

Ich denke, man kann eine

-Obergrenze erhalten, indem man sich jeweils einen Eingang und dann eine Vereinigungsgrenze ansieht, aber das klingt alles andere als eng.

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— Daniello

Idee zu Frage 2: Wählen Sie ein Sortiernetzwerk der Tiefe

. Wählen Sie bei jedem Schritt zufällig eines der Tore des Sortiernetzwerks aus und führen Sie diesen Vergleich durch. Nach

-Schritten wurden alle Gates in der ersten Schicht angewendet. Nach weiteren Schritten mit

sind alle Gates in der zweiten Schicht angewendet worden. Wenn Sie zeigen können, dass dies monoton ist (das Einfügen zusätzlicher Vergleiche in der Mitte des Sortiernetzwerks kann nicht schaden), haben Sie eine Lösung mit

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$ Vergleicher insgesamt im Durchschnitt. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob Monotizität tatsächlich Bestand hat.

— DW

@DW: Monotonie muss nicht unbedingt gelten. Betrachten Sie Sequenzen

Sequence

works;

nicht (Eingabe (1, 0, 0) berücksichtigen). Die Idee ist, dass

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$ sortiert alle empfangenen Eingaben mit Ausnahme von

(siehe hier ). In

kann diese Eingabe

nicht erreichen . In

kann es.

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

— Neal Young

Betrachten Sie die Variante, in der das Netzwerk ausgewählt wird, indem Sie bei jedem Schritt zwei benachbarte Variablen

zufällig auswählen. Jetzt gilt die Monotonie (da benachbarte Swaps keine Inversionen erzeugen). Wenden Sie die Idee von @ DW auf ein Netzwerk mit ungerader und gerader Sortierung an , das

Runden hat: In ungeraden Runden werden alle benachbarten Paare verglichen, bei denen

ungerade ist, und in geraden Runden werden alle benachbarten Paare verglichen, bei denen

ist. Wobei das zufällige Netzwerk in

Vergleichen korrekt ist , da es dieses Netzwerk "einschließt". (Oder vermisse ich etwas?)

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— Neal Young

Monotonie benachbarter Netze: Wenn

für

, dann ist

. Sagen Sie

wenn

(

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$ ). Korrigieren Sie einen Vergleich "

". Lassen Sie

und

durch diesen Vergleich von

und

kommen . Anspruch 1. und . Anspruch 2: Wenn , dann . Dann zeigen Sie induktiv: wenn

das Ergebnis der Vergleichsfolge

am Eingang

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$

s

$s$

x

$x$ und

ist das Ergebnis der Supersequenz

von

auf

, dann

. Also, wenn

sortiert ist, ist auch

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

— Neal Young

Hier sind einige empirische Daten zu Frage 2, die auf der Idee der DW für die bitonische Sortierung basieren. Wählen Sie für Variablen mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zu und wählen Sie dann gleichmäßig zufällig, um einen Komparator . Dies stimmt mit der Verteilung von Komparatoren in bitonischer Sortierung überein, wenn eine Potenz von 2 ist, und approximiert sie ansonsten. $n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

$n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

To emphasize: I'm using only $6400$ bit sequences to approximate the expected number of gates, not $2^n$ . The mean required gates does rise with that number: for $n = 199$ if I use $6400$ , $64000$ , and $640000$ sequences the estimates are $14270 \pm 1069$ , $14353 \pm 1013$ , and $14539 \pm 965$ . Thus, it's possible getting the last few sequences increases the asymptotic complexity, though intuitively it feels unlikely.

Edit: Here's a similar plot up to $n = 80$ , but using the exact number of gates (computed via a combination of sampling and Z3). I've switched from power of two $d = j-i$ to arbitrary $d \in [1,\frac{n}{2}]$ with probability proportional to $\frac{\log n - \log d}{d}$ . $\Theta(n \log^2 n)$ still looks plausible.

— Geoffrey Irving
quelle

Nice experiment! There's a different way the coupon collector issue could arise here, though: you're only sampling a small fraction of the

2^{n}

$2^n$ bit sequences needed to verify correctness on all inputs. It seems we can conclude (scientifically, not mathematically of course) from your experiment that a random network of this type and size sorts a random permutation whp. I'd also be curious to see exhaustive

2^{n}

$2^n$ testing on such random networks for all

n

$n$ up to which you're willing to go. (

n = 20

$n=20$ shouldn't be too bad, maybe even

n = 30

$n=30$ depending on what language & hardware you're using).

— Joshua Grochow

It looks the same for exact up to

n = 27

$n = 27$ , but I don’t view that as conclusive.

— Geoffrey Irving

@JoshuaGrochow: I've added exact values up to

n = 80

$n = 80$ .

— Geoffrey Irving

Nice! There does appear to be a growing spread to the exact data though, which perhaps indicates an upper bound with an extra factor of

\log n

$\log n$ ? (That is, if the "spread" is growing at a rate of

\log n

$\log n$ .)

— Joshua Grochow

Yeah, we can't rule out an extra factor. I'd be surprised if it was

\log n

$\log n$ , though, since up at 80 we have

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$ and the constant is suspiciously close to

1

$1$ otherwise. At this point I think theory has to take over. :)

— Geoffrey Irving