Was ist die folgende Variante von Set Cover?

Was ist die folgende Variation von Set Cover?

Wenn eine Menge S, eine Sammlung C von Teilmengen von S und eine positive ganze Zahl K gegeben sind, gibt es K Mengen in C, so dass jedes Paar von Elementen von S in einer der ausgewählten Teilmengen liegt.

Hinweis: Es ist nicht schwer zu erkennen, dass dieses Problem NP-vollständig ist: Erstellen Sie bei einem normalen Deckblattproblem (S, C, K) drei Kopien von S, sagen Sie S ', S' 'und S' ''. dann erstelle deine Teilmengen als S '' ', | S | Teilmengen der Form {a '} U {x in S' '| x! = a} U {a '' '}, | S | Teilmengen der Form {a ''} U {x in S '| x! = a} U {a '' '}, {a', a '' | a in C_i}. Dann können wir das Set-Cover-Problem mit K Teilmengen lösen, wenn wir das Pair-Cover-Problem mit K + 1 + 2 | S | lösen können Teilmengen.

Dies verallgemeinert sich auf Dreifache usw. Ich würde gerne nicht eine halbe Seite verschwenden, um dies zu beweisen, und es ist wahrscheinlich nicht offensichtlich genug, dies als trivial abzutun. Es ist sicherlich ausreichend nützlich, dass jemand es bewiesen hat, aber ich habe keine Ahnung, wer oder wo.

Gibt es auch einen guten Ort, um nach NP-Vollständigkeitsergebnissen zu suchen, die nicht in Garey und Johnson vorliegen?

Um Ihre zweite Frage zu beantworten, ist das Kahn-Crescenzi-Kompendium der NP-Härteergebnisse eine wertvolle Quelle für Härteergebnisse und deckt auch viele Varianten der Kernprobleme von G & J ab. Der Eintrag für Set Cover ist ein gutes Beispiel dafür.

Es hört sich so an, als würden Sie die Mengenabdeckung verallgemeinern, um nicht nur Elemente von S, sondern jede Untergruppe von S der Größe M zu berücksichtigen. Wir können das Problem allgemeiner formulieren:

Was ist bei gegebener Menge S, einer Sammlung C von Teilmengen von S und einer positiven ganzen Zahl m die kleinste Anzahl von Elementen von C, so dass jede Teilmenge der Größe M von S in einem der ausgewählten Elemente von C liegt?

Dies scheint mir eine ziemlich offensichtliche Verallgemeinerung der Deckung zu sein, und keine, die Sie brauchen, um die NP-Vollständigkeit jenseits einer einzigen Zeile zu beweisen. Wenn Sie schließlich m = 1 wählen, wird das ursprüngliche Problem mit der Satzabdeckung behoben. Vielleicht ist diese allgemeinere Formulierung gut genug für Ihre Zwecke, um nicht auf die Details eingehen zu müssen?

Ihre Frage zu einem aktualisierten Satz von NP-Vollständigkeitsergebnissen ist gut und verdient eine eigene Frage. Crescenzi und Kann haben hier ein nützliches Kompendium online zusammengestellt .

Zweitens ist es kaum allgegenwärtig, aber das Algorithmen Design Manual von Steven Skiena ist oft ein nützlicher erster Anschlag für eine große Anzahl von Problemen und ist im Online - Teil .