Ich werde eine Variante dieser Frage formalisieren, bei der "Effizienz" durch "Berechenbarkeit" ersetzt wird.
Lassen C nCn sein der Begriff Klasse aller Sprachen L ⊆ & Sgr; *L⊆Σ∗
erkennbar Turing - Maschinen auf nn Zuständen oder weniger. Im allgemeinen wird für x ∈ & Sigma; *x∈Σ∗ und f ∈ C nf∈Cn , das Problem der Auswertung
f ( x )f(x) ist unentscheidbare.
Nehmen wir jedoch an, wir haben Zugang zu einem (richtigen, realisierbaren) PAC-Lernorakel AA
für C nCn . Das heißt, für jedes ϵ , δ > 0ϵ,δ>0 fordert das Orakel eine markierte Stichprobe der Größe
m 0 ( n , ϵ , δ ) an,m0(n,ϵ,δ)
so dass das Orakel A eine Hypothese ausgibt , wenn eine solche Stichprobe aus einer unbekannten Verteilung D gezogenD wurde f ∈ C N
, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 - δ hat DAf^∈Cn1−δD-Allgemeinerungsfehler nicht mehr als ϵϵ . Wir werden zeigen, dass dieses Orakel nicht nach Turing berechenbar ist.
Tatsächlich werden wir zeigen, dass ein einfacheres Problem nicht zu entscheiden ist: Bei einer markierten Stichprobe S wird bestimmtS , ob es ein mit S konsistentes f ∈ C n gibtf∈Cn . Nehmen wir an (um einen Widerspruch zu bekommen), dass K eine Turing-Maschine ist, die das Konsistenzproblem entscheidet.SK
Wir machen die folgenden Darstellungskonventionen. Identifizieren Σ *Σ∗ mit N = { 0 , 1 , 2 , ... } über die übliche lexikographische Ordnung. Für x ∈ { 0 , 1 } * , sagen wir , dass ein TM M "S-prints"
x wenn es alle Saiten in nimmt Σ *
zu den Indices i st x i = 1
und übernimmt keine (möglicherweise durch nicht Anhalten) einer der Zeichenfolgen, die den Indizes x entsprecheni = 0 . Da (unter der Annahme) K entscheidbar ist, folgt daraus, dass die Funktion ˜ K : x ↦ k , die als das kleinste k definiert ist,so dass ein Teil von TM in C k
S x druckt, Turing-berechenbar ist. Daraus folgt weiterdaß die Funktion
g : k ↦ x , das ordnet ein k ∈ N
an das mindestens (lexikographisch) string x ∈ { 0 , 1 } *
derartdass ~ K ( x) > k ist ebenfalls berechenbar.
Nun den TM definieren M wie folgt: M S-prints g ( | ⟨ M ⟩ | ) , wobei
⟨ M ⟩ ist die Kodierung von M ,
| x | bezeichnet die Länge einer Zeichenkette, und der Rekursionssatz wird aufgerufen, um die Existenz eines solchen M zu behaupten . Dann hat M eine Kodierungslänge, ℓ = | ⟨ M ⟩ | und es druckt eine Zeichenkette, x M ∈ { 0 , 1 } ∗. Konstruktionsbedingt ist ˜ K ( x M ) > ℓ , und daher kann x M von keinem TM mit der Beschreibungslänge ℓ oder kürzer S-gedruckt werden . Dabei ist es definiert als die S-Print-Ausgabe eines TM mit der Beschreibungslänge ℓ --- ein Widerspruch.