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Ich erwarte, dass die Antwort nein ist, aber ich konnte kein Gegenbeispiel konstruieren. Der Unterschied besteht darin, dass wir in möglicherweise nicht in der Lage sind, einen O ( n 2 + ε ) -Algorithmus in ε einheitlich auszuwählen .$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$O(n^{2+ε})$$ε$

Durch eine Verzahnung Argument (siehe beispielsweise diese Frage ), wenn es ein ce Satz von Turing Maschinen eine Sprache entscheiden L , so dass ∀ ε > 0 ∃ M i ∈ O ( n 2 + ε ) , dann L ist in D T I M E ( n 2 + o ( 1 ) ) .$M_i$$L$$∀ε>0 ∃M_i ∈ O(n^{2+ε})$$L$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Bei einer Turing-Maschine ist es Π 0 3 -vollständig , ob die Maschine in der Zeit läuft. Ob eine Sprache (mit einem Code für eine Maschine, die sie erkennt) in D T I M E ( n 2 + o ( 1 ) ) ist, ist Σ 0 4 (und Π 0 3 -hart); ob eine Sprache in ∩ ε > 0 ist D T I M E ( O $n^{2+o(1)}$$Π^0_3$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$$Σ^0_4$$Π^0_3$ ist Π 0 3 -vollständig. Wenn wir beweisen können , Σ 0 4 Vollständigkeit (oder nur Σ 0 3 -Härte) von D T I M E ( n 2 + o ( 1 ) ) , die das Problem lösen würde, aber ich bin nicht sicherwie das zu tun.$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$Π^0_3$$Σ^0_4$$Σ^0_3$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Das Problem wäre auch gelöst, wenn wir eine Folge von Sprachen so dass * L i einen natürlichen O ( n 2 + 1 / i ) -Entscheidungsalgorithmus hat (einheitlich in i ). * Jedes L i ist endlich. * Nicht nur die Größe von L i ist unentscheidbar, ein Algorithmus kann auch nicht ausschließen, dass w ∈ L i viel schneller ist als O ( n 2 + 1 / i ) (für den schlimmsten Fall)$L_i$
$L_i$$O(n^{2+1/i})$$i$
$L_i$
$L_i$$w∈L_i$$O(n^{2+1/i})$ ), mit Ausnahme von endlich vielen i (abhängig vom Algorithmus).$w$$i$

Ich bin auch gespannt , ob es irgendwelche bemerkenswerte / interessante Beispiele (für oder einer analogen Beziehung ).$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε})) \setminus \mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Hier ist ein Gegenbeispiel, dh eine Sprache mit einem -Algorithmus (unter Verwendung von Multitape-Turing-Maschinen) für jedes ε > 0 , jedoch nicht einheitlich in ε : Akzeptiere 0 k 1 m iff k > 0 und das k- te Turing Maschine stoppt in weniger als m 2 + 1 / k Schritten am leeren Eingang. Andere Zeichenfolgen werden abgelehnt.$O(n^{2+ε})$$ε>0$$ε$
$0^k 1^m$$k>0$$k$$m^{2+1/k}$

For every $ε$, we get an $O(n^{2+ε})$ algorithm by hardcoding all sufficiently small nonhalting machines, and simulating the rest.

Now, consider a Turing machine $M$ deciding the language.

Sei (auf der Leereingabe ) eine effiziente Implementierung des Folgenden: für n in 1,2,4,8, ...:      benutze M , um zu entscheiden, ob M ' in < n 2 + 1 / M ' Schritten anhält .      halt iff M sagt, dass wir nicht anhalten, aber wir können trotzdem in < n 2 + 1 / M ' Schritten anhalten .$M'$
$n$
$M$$M'$$<n^{2+1/M'}$
$M$$<n^{2+1/M'}$

By correctness of $M$, $M'$ does not halt, but $M$ takes $Ω(n^{2+1/M'})$-steps on input $0^{M'} 1^{n-M'}$ for infinitely many $n$. (If $M$ is too fast, then $M'$ would contradict $M$. The $Ω(n^{2+1/M'})$ bound depends on $M'$ simulating $M$ in linear time and otherwise being efficient.)