Ist dieses Polytop der Untergruppenverpackung ein integraler Bestandteil?

Sei eine endliche abelsche Gruppe und sei das Polytop in definiert als die Punkte die die folgenden Ungleichungen erfüllen: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

wobei bedeutet, dass eine Untergruppe von . Ist Integral? Wenn ja, können wir seine Eckpunkte charakterisieren? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

Meine Frage stellte sich ursprünglich mit , wobei einige kleine Beispiele ( ) darauf hindeuten, dass die Antwort "Ja" und "Vielleicht, aber es ist nicht einfach" lautet. Ich habe auch die zyklische Gruppe an 9 und 10 Elementen sowie an ausprobiert , wobei das Polytop wieder ein integraler Bestandteil ist. Das Polytop ist nicht ganzzahlig, wenn eines von , und , so dass Abelianness offensichtlich wesentlich ist. $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

Ich sollte erwähnen, dass wenn Sie den ersten Satz von Gleichungen als schreiben , nicht unbedingt völlig unimodular ist (was bedeuten würde, dass das Polytop ganzzahlig ist). Wenn , können Sie drei linear unabhängige auswählen und die drei nehmen, die von jedem Paar der ausgewählten Elemente überspannt werden . Die resultierende Submatrix ist bis zur Permutation und hat somit eine Determinante . $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

Es ist einfach (wenn auch mühsam), die Eckpunkte für Gruppen erster Ordnung zu charakterisieren und zu beobachten, dass sie ganzheitlich sind. Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies auf zyklische Gruppen mit der Reihenfolge einer Primzahl ausgedehnt werden kann. Ich bin mir nicht sicher, was bei der Einnahme von Produkten passiert.

Dieses System erinnert sehr an diejenigen, die Polymatroide definieren , aber anstatt einer submodularen Mengenfunktion sind die Einschränkungen eine "Untergruppenfunktion", von der ich vermute, dass sie "submodular" ist, sobald sie richtig definiert wurde. Trotzdem könnten die Techniken zum Zeigen bestimmter Polymatroide auch hier funktionieren, aber ich verstehe nicht, wie.

$\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Andrew Morgan
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F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

x

$x$

x

$x$

Ja, das ist eine sehr interessante und merkwürdige Frage. (Wenn es Ihnen nichts ausmacht zu teilen) Gab es eine Motivation, sich diese speziellen Polytope anzuschauen? Oder nur etwas, über das man zufällig gestolpert ist?

— John Machacek

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{i}

$x_i$

G

$G$

Andrew (der Fragesteller) und ich hatten dies per E-Mail besprochen, und wir haben gezeigt, dass die Vermutung falsch ist. Das Polytop ist für abelsche Gruppen nicht ganzzahlig, auch nicht für cyclische Gruppen.

Positiv ist, dass.

$p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

Dies liegt daran, dass die Familie der Untergruppen eine Vereinigung zweier laminarer Familien ist.

$2\times 3\times 5 =30$

$30$

$x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

$\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Chao Xu
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