Zeithierarchien in DSPACE (O (s (n)))

Der Zeithierarchiesatz besagt, dass Turingmaschinen mehr Probleme lösen können, wenn sie (genug) mehr Zeit haben. Gilt es in irgendeiner Weise, wenn der Raum asymptotisch begrenzt ist? Wie verhält sich $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ zu $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ wenn $\frac{f}{g}$ wächst schnell genug?

Mich interessiert besonders der Fall, dass $s(n) = n$ , $g(n) = n^3$ und $f(n) = 2^n$ .

Insbesondere gilt I folgende Sprache: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

Jedoch $L_k$ könnte in entschieden $n^3$ Stufen unter Verwendung von $(k+1)n \in O(n)$ Raum.

Ohne $M$ auf vier Bandsymbole zu beschränken und somit zu ermöglichen, $O(n)$ Zellen in $n$ Zellen zu komprimieren , erhalten wir Raumprobleme, wenn ein $M$ mit zu vielen Bandsymbolen simuliert wird . In diesem Fall befindet sich die Sprache nicht mehr in $\text{DSPACE}(O(n))$ . Dasselbe passiert, wenn $k = h(|w|)$ für einige $h$ , die schnell genug berechnet werden können.

Diese Frage ist im Grunde eine Umformulierung meiner Frage hier .

Bearbeiten Zusammenfassung: Geänderte zu DTISP ( f ( n ) , s ( n ) ) , aber ich denke , die Kreuzung auch wert ist , darüber nachzudenken.$\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$$\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$

Dies ist ein offenes Problem: Es ist offen , ob (oder sogar N S P A C E ( O ( n ) ) ). Wir wissen nur, dass D T I M E ( O ( n $\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$$\mathrm{NSPACE}(O(n))$ .$\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

Unter plausiblen rechnerischen Komplexitätsannahmen gibt es jedoch eine richtige Hierarchie. Wenn beispielsweise für jeden , Schalt-SAT ∉ IO- O ( 2 n - ε ) , dann D T I S P ( O ( f ) , O ( s ( n ) ) ) ⊊ D T I S P ( O ( f 1 + ε ) , O ( s $ε>0$$O(2^{n-ε})$ wobei f ( n ) ≥ n , f ( n ) ist 2 O ( min ( n , s ( n ) ) ) , und f istZeit-Raumkonstruierbar.$\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$$f(n)$$2^{o(\min(n,s(n)))}$$f$

Insbesondere (unter der Hypothese) dient die Existenz einer befriedigenden Zuordnung für Schaltungen mit Eingaben und Größe ( log f ) O ( 1 ) als Gegenbeispiel zur Gleichheit der Klassen.$⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$$(\log f)^{O(1)}$

Anmerkungen:

• CIRCUIT-SAT ist mindestens so hart wie SAT (was in der stark exponentiellen Zeithypothese verwendet wird).$k$

• Gemäß der Konvention ist in CIRCUIT-SAT die Anzahl der Eingangsleitungen; Schaltkreisgröße ist n 0 ( 1 ) .$n$$n^{O(1)}$

• Wenn die Annahme CIRCUIT-SAT für quasilineare Schaltungsgrößen verwendet, dann ist die auf gebundene kann gelockert werden , um O ( ( 2 - ε ) min ( n , s ( n ) ) ) . Außerdem ergeben schwächere / stärkere Annahmen zur Härte von CIRCUIT-SAT schwächere / stärkere Hierarchien (die wir derzeit nachweisen können).$f(n)$$O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$

• io Mittel unendlich oft und können gelöscht werden , die (einschließlich kontinuierlicher in gewissem Sinne sind f ( n ) = n a ).$f$$f(n)=n^a$

• Es ist wahrscheinlich, dass die DTISP-Hierarchie scharf genug ist, um von o ( f / log f ) (und möglicherweise o ( f ) ) zu unterscheiden (wenn f im Verhältnis zum zulässigen Raum nicht zu groß ist).$O(f)$$o(f/\log f)$$o(f)$$f$

• Zur Unterscheidung von 2 n , brauchen wir nur die schwächere Annahme P ≠ PSPACE.$n^a$$2^n$