NP-Härte eines Sonderfalls eines orthogonalen Packungsproblems

Sei eine Menge von dimensionalen rechteckigen Formen. Für und , beschreibt die Länge von in der Dimension . Die gleiche Notation wird für den Container . Das dimensionale orthogonale Packungsproblem (OPP- ) besteht darin, zu entscheiden, ob ohne Überlappung in den Behälter passt . Formal besteht das Problem darin, herauszufinden, ob eine Funktion , so dass$V$$D$$d \in \{1,...,D\}$$v \in V$$w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$$v$$d$$C$$D$$D$C ∀ d ∈ { 1 , . . . , D } f d : V → Q + ∀ v ∈ V , f d ( v ) + w d ( v ) ≤ w d ( C $V$$C$$\forall d \in \{1,...,D\}$$f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$$\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ und , , .( v 1 ≠ v 2 ) [ f d ( v 1 ) , f d ( v 1 ) + w d ( v 1 ) ) ∩ [ f d ( v 2 ) , f d ( v 2 ) + w d ( v 2 ) ) $\forall v_1,v_2 \in V$$(v_1 \neq v_2)$$[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$

Das Problem ist NP-vollständig (siehe Fekete SP, Schepers J. "Über höherdimensionale Packung I: Modellierung". Technischer Bericht 97–288, Universität zu Köln, 1997). Das Problem ist auch für NP-vollständig . Ich frage mich, ob das orthogonale Packungsproblem für eine begrenzte Anzahl von Arten (dh Größen in jeder Dimension) von Gegenständen immer noch NP-vollständig ist oder nicht. Bis jetzt fand ich ein Ergebnis in einem Artikel über die NP-Vollständigkeit des Packens von Quadraten in ein Quadrat (siehe JOSEPH YT. LEUNG, TOMMY W. TAM UND CS WONG, "Packen von Quadraten in ein Quadrat", Journal of Parallel and Distributed Computing, Band 10, Ausgabe 3, November 1990), die bereits eine Einschränkung darstellt, aber ich weiß immer noch nicht, was passiert, wenn die Anzahl der Arten von Elementen begrenzt ist.$D=2$

Vielen Dank für Ihre Antwort,

Ich denke, dass das Papier von Klaus Jansen und Roberto Solis-Oba " Ein OPT + 1-Algorithmus für das Schneidmaterialproblem mit konstanter Anzahl von Objektlängen " eine teilweise Antwort auf Ihre Frage hat. Sie betrachten einen Sonderfall Ihres Problems, der als Schneidmaterialproblem bezeichnet wird, wenn die Anzahl der verschiedenen Objekttypen konstant und wie folgt definiert ist:

In dem Schneidmaterialproblem erhalten wir eine Menge von Objekttypen, wobei Objekte vom Typ eine positive ganzzahlige Länge . Bei einer unendlichen Menge von Bins mit jeweils ganzzahliger Kapazität besteht das Problem darin, eine Menge von Objekten so in die minimal mögliche Anzahl von Bins zu packen , dass die Kapazität der Bins nicht überschritten wird. In set gibt es Objekte vom Typ für alle .T i p i β O n O n i T i i = 1 , … , $T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$$T_i$$p_i$$\beta$$\mathcal{O}$$n$$\mathcal{O}$$n_i$$T_i$$i =1,\dots,d$

Die Autoren behaupten das

Es ist nicht bekannt, ob das Schneidmaterialproblem in Polynomzeit für jeden festen Wert gelöst werden kann .$d$

Und sie schlagen einen Approximationspolynom-Zeitalgorithmus vor, wenn fest ist.$OPT+1$$d$

Da es nicht bewiesen ist , dass dieser Sonderfall ist , dann ist dies der Beweis , dass Ihr Problem ist N P -hard.$P$$NP$

Nachtrag: Es ist bekannt, dass der Fall mit zwei Objekttypen ( ) polynomiell lösbar ist, aber für d = 3 ist nur die O P T + 1- Approximation bekannt.$d=2$$d=3$$OPT+1$