Ist SAT mit begrenzter Breite im Logspace entscheidbar?

Elberfeld, Jakoby und Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) erwiesen sich als platzsparende Version des Satzes von Bodlaender. Sie zeigten, dass für Graphen mit einer Baumbreite von höchstens eine Baumzerlegung der Breite unter Verwendung des logarithmischen Raums gefunden werden kann. Der konstante Faktor im gebundenen Raum hängt von . (Der Satz von Bodlaender zeigt eine lineare Zeitgrenze mit einer exponentiellen Abhängigkeit von im konstanten Faktor.) $k$ $k$ $k$ $k$

SAT wird einfach, wenn der Satz von Klauseln eine geringe Breite hat. Insbesondere Fischer, Makowsky und Ravve 2008 zeigten, dass die Erfüllbarkeit von CNF-Formeln mit der Baumbreite des durch begrenzten Inzidenzgraphen mit höchstens Arithmetikoperationen bei gegebener Baumzerlegung bestimmt werden kann. Nach dem Satz von Bodlaender kann die Berechnung der Baumzerlegung des Inzidenzgraphen für festes in linearer Zeit erfolgen, und daher kann SAT für zeitlich begrenzte Baumbreitenformeln bestimmt werden, die ein Polynom niedrigen Grades in der Anzahl der Variablen . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Man könnte dann erwarten, dass SAT tatsächlich unter Verwendung des logarithmischen Raums für Formeln mit begrenzter Baumbreite des Inzidenzgraphen entscheidbar sein sollte. Es ist nicht klar, wie Fischer et al. Ansatz für die Entscheidung von SAT in etwas platzsparendes. Der Algorithmus berechnet einen Ausdruck für die Anzahl der Lösungen über Einschluss-Ausschluss und bewertet rekursiv die Anzahl der Lösungen kleinerer Formeln. Obwohl die begrenzte Baumbreite hilft, scheinen die Unterformeln zu groß zu sein, um im logarithmischen Raum berechnet zu werden.

Dies führt mich zu fragen:

Ist bekannt, dass SAT für Formeln mit begrenzter Baumbreite in oder vorliegt ? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— András Salamon
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Folgt die Tatsache, dass SAT in L für Instanzen mit begrenzter Baumbreite nicht direkt aus den Ergebnissen in dem von Ihnen zitierten Artikel folgt? Der Satz erfüllbarer Formeln ist MSO-definierbar. Daher kann die Erfüllbarkeit in linearer Zeit auf Graphen begrenzter Baumbreite über Bodlaender + Courcelle-Theoreme gelöst werden. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 zeigen, dass MSO-Eigenschaften im logarithmischen Raum anhand von Graphen begrenzter Baumbreite bestimmt werden können, indem logarithmische Raumversionen der Sätze von Bodlaender + Courcelle bereitgestellt werden. Daher kann SAT im Logspace auf Graphen mit begrenzter Baumbreite festgelegt werden.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira, die Details scheinen mir nicht klar zu sein. SAT ist MSO-definierbar über eine Struktur mit zwei gerichteten Kantenrelationen (Immerman-Beispiel 2.18), deren Vereinigung zu den Kanten des Inzidenzgraphen führt, sobald die Richtung vergessen wird. Mir ist jedoch nicht klar, dass es möglich ist, das Inzidenzdiagramm unverändert zu verwenden, um die Erfüllbarkeit durch MSO zu definieren (z. B. über die festgelegte Deckung), um Bodlaender / Courcelle / EJT anwenden zu können.

— András Salamon

Der Satz von @ AndrásSalomon Courcelle kann für Graphen mit farbigen Eckpunkten und Kanten angegeben werden. Die Baumbreite solcher farbigen Graphen entspricht der Baumbreite der ungefärbten Versionen. Es gibt viele Möglichkeiten, beliebige relationale Strukturen als farbige Graphen zu modellieren.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Im Fall von Formeln möchten Sie eine relationale Struktur definieren, die gleichzeitig die Formel und das Inzidenzdiagramm codiert. (Andernfalls, wie würden Sie die Erfüllbarkeit überhaupt definieren?) Wenn Sie dann einen geeigneten Begriff der Baumbreite für eine solche Struktur verwenden, haben wir, dass die Baumbreite der Struktur (Formel + Inzidenzdiagramm) höchstens eine additive Konstante ist, die größer als die Baumbreite von ist das Inzidenzdiagramm allein. Beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, solche kombinierten relationalen Strukturen zu definieren, und dass im Wesentlichen jeder Autor diejenige verwendet, die für seinen Kontext am besten geeignet ist.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@Mateus, danke! Das ist ein ziemlich hilfreicher Kommentar; Ich war mir der "Toolbox" -Natur der Baumbreite in der beschreibenden Komplexität nicht bewusst. Möchtest du daraus eine Antwort machen?

— András Salamon

In der Tat kann anhand der Ergebnisse in Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 gezeigt werden, dass SAT im Logspace anhand von Formeln entschieden werden kann, deren Inzidenzdiagramm die Baumbreite begrenzt hat. Hier ist eine Skizze, wie die Hauptschritte des Beweises dieser Behauptung verlaufen.

Die Begriffe Baumzerlegung und Baumbreite können auf beliebige relationale Strukturen verallgemeinert werden. Siehe zum Beispiel die Abschnitte 2 und 3 dieses Papiers von Dalmau, Kolaitis und Vardi.
Der Satz von Courcelle besagt, dass die MSO-Logik in linearer Zeit auf relationalen Strukturen konstanter Baumbreite entschieden werden kann.
$t$ $f(t)\cdot n$
$\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
$\tau$
Daher kann man nach dem Satz von Bodlander + Courcelle entscheiden, ob eine Formel konstanter Baumbreite in linearer Zeit erfüllt werden kann.
Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 zeigt, dass "lineare Zeit" sowohl im Bodlaender- als auch im Courcelle-Theorem durch "logarithmischen Raum" ersetzt werden kann.
$\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
Insbesondere kann SAT im Logspace auf Graphen konstanter Baumbreite bestimmt werden.

— Mateus de Oliveira Oliveira
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