Bedeutet das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte das Axiom K in Martin-Löfs Intensional Type Theory?

Ich habe mich also gefragt, ob das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (LEM) das sogenannte Axiom K in Martin-Löfs Intensional Type Theory impliziert. Das Axiom K besagt, dass Tatsächlich habe ich versucht, die allgemeinere Aussage zu beweisen, dass

Π_{A : T y p e} Π_{x : A} Π_{p : Id (x, x)}, Id (p, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

aber nachdemich

durch Gleichheitsinduktionauf

reduzierthabe, stecke ich im ersten Problem fest. Ich habe auch versucht, im Widerspruch vorzugehen, aber es scheint nicht zu funktionieren.

Π_{A : T y p e} Π_{x, y : A} Π_{p, q : Id (x, y)}, Id (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Ist das überhaupt beweisbar?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
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$K$

Ihr zweites Prinzip ist als UIP oder Eindeutigkeit von Identitätsnachweisen bekannt. Es entspricht Axiom K, siehe Satz 7.2.1 im HoTT-Buch (scrollen Sie einfach von 7.2.5 um eine Seite nach oben). Keines davon kann in der Martin-Löf-Intensivtyp-Theorie durch ein berühmtes Ergebnis von Thomas Streicher und Martin Hofmann abgeleitet werden .

— Andrej Bauer
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Ich werde diese Gelegenheit nutzen, um Alan Schmitts eleganten Beweis zu erwähnen, der die Hauptzutat deutlich hervorhebt: die Fähigkeit, bei gegebenem Gleichheitsnachweis einen kanonischen zu produzieren.

— Gallais

Es ist jedoch auch erwähnenswert, dass es, wie auch im HoTT-Buch erwähnt, eine schwächere Form von "LEM" gibt, die nicht K impliziert und wohl das ist, was Mathematiker wirklich mit LEM meinen, nämlich LEM, das auf Subsingleton-Typen beschränkt ist.

— Mike Shulman