Gibt es eine NP-vollständige Sprache, die genau die Hälfte der n-Bit-Instanzen enthält?

Gibt es eine (vorzugsweise natürliche) NP-vollständige Sprache , so dass für jedes gilt? Mit anderen Worten enthält genau die Hälfte aller Bit-Instanzen. $L\subseteq \{0,1\}^*$ $n\geq 1$

| L \cap {0, 1}^{n} | = 2^{n - 1}

$|L\cap \{0,1\}^n|=2^{n-1}$

L

$L$

n

$n$

cc.complexity-theory np np-complete

— Andras Farago
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Es wäre sehr überraschend, wenn es nichts gäbe, als ein paar Minuten darüber nachzudenken und keine Konstruktion zu finden.

— Kaveh

FWIW gibt es so ein

, das NP-hart ist und in NP / POLY ...

L

$L$

— Neal Young

Für eine bijektive binäre Codierung

von CNF-Formeln gilt

erfüllbar

unzufrieden

sollte funktionieren.

e

$e$

{e (φ) 1 | φ

$\{e(\varphi)1\ |\ \varphi$

} \cup {e (φ) 0 | φ

$\} \cup \{e(\varphi)0\ |\ \varphi$

}

$\}$

— Klaus Draeger

@KlausDraeger Unzufriedenheit ist keine NP-Eigenschaft, es sei denn, NP = co-NP.

— Andras Farago

Gibt es ein Orakel

so dass es mit dieser Eigenschaft kein

gibt?

O

$O$

L \in {N P - C o m p l e t e}^{O}

$\mathcal{L}\in {\bf NP-Complete}^O$

— Erfan Khaniki

Antworten:

Ich habe diese Frage vor ein paar Jahren gestellt und Boaz Barak hat sie positiv beantwortet .

Die Aussage entspricht der Existenz einer NP-vollständigen Sprache wobei ist zur Polynomzeit berechenbar. $L$ $|L_n|$

Betrachten Sie Boolesche Formeln und SAT. Durch Auffüllen und leichtes Ändern der Codierung von Formeln können wir sicherstellen, dass und die gleiche Länge haben. $\varphi$ $\lnot \varphi$

Lassen Sie sein eine Codierung , dass $\langle\ \rangle$

für alle Formeln und für alle Wahrheitszuweisungen , . $\varphi$ $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $|\langle\varphi\rangle| = |\langle\varphi, \tau\rangle|$
ist zur Polynomzeit berechenbar. $|\langle\varphi\rangle| \mapsto |\varphi|$
Die Anzahl der Formeln mit der codierten Länge ist in Polynomzeit berechenbar. $n$

Betrachten

L := {⟨ φ ⟩ ∣ φ \in S A T} \cup {⟨ φ, τ ⟩ ∣ τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ}

$L := \{\langle\varphi\rangle \mid \varphi \in \mathsf{SAT} \} \cup \{\langle \varphi, \tau \rangle \mid \tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi \}$

Es ist leicht zu erkennen, dass NP-vollständig ist. $L$

Wenn , die Anzahl der Wahrheits Zuteilungen ist gleich der Anzahl der Befriedigung Wahrheit Zuweisungen . Addiert man selbst, so addiert man die Anzahl der erfüllenden Wahrheitszuweisungen für . $\varphi \in \mathsf{SAT}$

τ ⊨ φ and \exists σ < τ σ ⊨ φ

$\tau \vDash \varphi \text{ and } \exists \sigma<\tau\ \sigma\vDash\varphi$

- 1

$- 1$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

Es gibt Wahrheitszuweisungen. Jedes erfüllt entweder oder (und nicht beide). Für jede Formel , sollten Sie die Saiten , , und für $2^{|\varphi|}$ $\tau$ $\varphi$ $\lnot \varphi$ $\varphi$ $2(2^{|\varphi|}+1)$ $\langle\varphi\rangle$ $\langle\lnot \varphi\rangle$ $\langle\varphi, \tau\rangle$ $\langle \lnot\varphi, \tau\rangle$ . Genaudavon Strings sind in . Dies bedeutet, dass die Anzahl der Ketten mit der Länge in die Anzahl der Formeln der codierten Länge multipliziert mitwelche Polynomzeit berechenbar. $\tau \in \{0,1\}^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|}$ $2^{|\varphi|+1}+2$ $L$ $n$ $L$ $\varphi$ $n$ $2^{|\varphi|}$

— Ryan O'Donnell
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Auch wenn dies die gewünschte Lösung ist, handelt es sich um eine eindeutige Nur-Link-Antwort.

— User2943160

Klar ist, dass SAT nichts Besonderes ist. Dies würde mit jedem Verifizierer-Prädikat für ein NP-vollständiges Problem funktionieren.

— Kaveh

ϕ

$\phi$

\neg ϕ

$\lnot \phi$

τ

$\tau$

@Neal, sei V (x, y) ein Verifizierer für ein NP-vollständiges Problem. Betrachte W (x, b, y): = V (x, y) = b. Es ist immer noch NP-vollständig und jedes y ist ein Zeuge entweder für x, 0 oder x, 1. Nicht so schön wie SAT.

— Kaveh

A = {(ϕ, b, τ) : (τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1} ?

$A = \{(\phi, b, \tau) : (\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1\}?$

B = {(ϕ, b) : τ \in S A T \leftrightarrow b = 1}

$B = \{(\phi, b) : \tau \in SAT \leftrightarrow b = 1\}$

A \cup B

$A\cup B$

A

$A$

C = {(ϕ, b) : \exists τ . [(τ satisfies ϕ) \leftrightarrow b = 1]}

$C=\{(\phi, b) : \exists \tau.~[(\tau \mbox{ satisfies } \phi) \leftrightarrow b=1]\}$

Hier ist ein Vorschlag, warum es schwierig sein könnte, ein Beispiel dafür zu finden, obwohl ich Kavehs Bemerkung zustimme, dass es überraschend wäre, wenn es es nicht gäbe. [Keine Antwort, aber zu lang für einen Kommentar.]

$L$ $L^{=n} := |L \cap \{0,1\}^n| = 2^{n-1}$ $L \cap \{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n \backslash L$ $\mathsf{NP}$ $f\colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ $x \in L$ $f(x) \notin L$ $f$ $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ $f$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

$\mathsf{EXP}$ $\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{NTIME}(2^{(\log n)^{O(1)}}) =: \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{NQP}$

$L$

Natürlich ist dies auch die Art von Dingen, bei denen jemand ein Beispiel vorstellt und wir werden leicht sehen, wie es um diesen Einwand geht, aber ich wollte dies nur rausschmeißen, um zu sagen, wie etwas mit einer ausreichend einfachen Bijektion kann funktioniert nicht (es sei denn, weit verbreitete Überzeugungen sind falsch).

$L$

— Joshua Grochow
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