Es gibt nicht immer eine Übereinstimmung mit Ihrer Eigenschaft in einem zweigeteilten Diagramm.
Betrachten Sie zum Beispiel den Graphen wobeiG = ( V., E.)
- undV.= { a1, ein2, ein3, b1, b2, b3, c1, c2, d1, d2, x }
- E.= { a1, ein2} × { c1, c2, x } ∪ { b1, b2} × { d1, d2, x }∪ { ( a3, c1) , ( a3, d2) , ( a3, x ) , ( b3, d1) , ( b3, c2) , ( b3, x ) }
Dieser Graph ist zweiteilig (mit als einem Teil und V 2 = { c 1 , c 2 , d 1 , d 2 , x } wie der andere). Jeder Scheitelpunkt in diesem Diagramm mit Ausnahme von x hat Grad 3 . Scheitelpunkt x hat Grad 6 .V.1= { a1, ein2, ein3, b1, b2, b3}}V.2= { c1, c2, d1, d2, x }x3x6
Nehmen wir aus Gründen des Widerspruchs an, dass ein mit Ihrem Eigentum übereinstimmendes existiert. Betrachten Sie zwei benachbarte Eckpunkte v 1 und v 2 , die den gleichen Grad haben. Es stellt sich heraus, dass die Bedingungen für M implizieren, dass beide dieser Scheitelpunkte den gleichen Status haben, der übereinstimmt oder nicht (dh entweder beide oder keiner der Scheitelpunkte muss in M übereinstimmen ). Dies kann sehr einfach durch Widerspruch bewiesen werden: Angenommen, ein Scheitelpunkt (wlog v 1 ) stimmt überein und der andere nicht; dann, da es eine Kante zwischen ihnen gibt, sagt uns die gegebene Eigenschaft auf M , dass d e g ( v 1 )M.v1v2M.M.v1M. , was ein Widerspruch ist.de g( v1) > de g( v2)
Somit ist der Übereinstimmungsstatus benachbarter Scheitelpunkte gleichen Grades der gleiche. Wenn dann eine Menge von Scheitelpunkten die Eigenschaft hat, dass jeder Scheitelpunkt den gleichen Grad hat und der durch diese Scheitelpunkte induzierte Teilgraph verbunden ist, können wir diese Regel mehrmals anwenden, um zu schließen, dass alle Scheitelpunkte in der Menge dieselbe Übereinstimmung haben müssen oder nicht Status. Insbesondere muss in der Matched-or-Not-Status jedes Scheitelpunkts in V ∖ { x } gleich sein, da diese Scheitelpunkte alle Grad 3 haben und verbunden sind. Mit anderen Worten, entweder wird jeder Scheitelpunkt in V ∖ { x } in M abgeglichen , oder es wird kein solcher Scheitelpunkt in M abgeglichenGV.∖ { x }3V.∖ { x }M.M.. Wenn der Übereinstimmungs- oder Nichtübereinstimmungsstatus für diese Scheitelpunkte "übereinstimmt", wird jeder Scheitelpunkt im -Teil der Bipartition in M abgeglichen ; Dies ist unmöglich, da es in V 1 mehr Eckpunkte gibt als im anderen Teil V 2 . Wenn die Matched-oder-nicht - Status für diesen Scheiteln wird als „nicht zugeordnet“ , dann der einzige Knoten in G , die in angepaßt werden kann M ist x ; Da eine nicht leere Übereinstimmung (wie M sein muss) mit mindestens zwei Eckpunkten übereinstimmt , sehen wir, dass dieser Fall ebenfalls unmöglich ist.V.1MV1V2GMxM
Im Widerspruch dazu existiert in G kein Matching mit der fraglichen Eigenschaft .MG