Komplexität eines Matrixproblems

Das folgende Problem ist kürzlich in meiner Forschung aufgetreten. Da ich kein Experte für algorithmische Fragen bin, habe ich intensiv nach geeigneten Problemen gesucht, um sie zu reduzieren. Ich verstehe nicht, wie 3SAT funktionieren würde, und obwohl ZOE im Geiste ähnlich ist, ist eine Reduzierung nicht offensichtlich. Eine andere Möglichkeit wäre die existentielle Theorie der Realitäten. Das scheint auch nicht ganz das Gleiche zu sein, aber ich könnte mich darin irren.

Problem: und sind beide Matrizen über Ihrem Lieblingsfeld. Wir nehmen an, dass eine beliebige Menge von Indizes von auf 0 gesetzt ist. Ebenso wird eine beliebige Menge von Indizes von auf 0 gesetzt. Frage: Können wir die verbleibenden Indizes von und so ausfüllen, dass ? $A$ $B$ $n\times n$ $A$ $B$ $A$ $B$ $AB = I_n$

Beispiel: , . Nicht möglich. $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

Was ist die rechnerische Komplexität davon (in )? $n$

Hinweise oder Ideen, wo nach ähnlichen Ergebnissen in der Literatur gesucht werden kann, werden sehr geschätzt.

BEARBEITEN (diesen Beitrag völlig vergessen): In den letzten Arbeiten, die auf dem arXiv verfügbar sind (falls jemand an dem Preprint interessiert ist, lassen Sie es mich wissen), haben wir gezeigt, dass das Problem in jedem endlichen Bereich NP-schwer ist.

cc.complexity-theory

— MB
quelle

Vorausgesetzt, das Basisfeld ist groß genug, reduziert sich das Problem der Prüfung, ob Sie

A B

$AB$ invertierbar machen können, auf (das Komplement von) Polynomidentitätstests.

nur, dass die Determinante von

A B

$AB$ ein Polynom in den Werten der fehlenden Einträge ist.

— Andrew Morgan

Auch der Fall, in dem wir die Einträge von

und

auf null Eins beschränken und die Charakteristik des Feldes größer als

, reduziert sich auf eine zweiteilige perfekte Übereinstimmung. Sie können sich vorstellen, für jeden Index

anderen Index

wählen, so dass Sie

und die verbleibenden Einträge Null setzen. (Putting mehr Einsen als dies kann nur schaden.) Dann ist die Bedingung

kann mit dem Indizes als zweiteilige Graphen ausgedrückt werden

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ links die Auswahl von

rechts und Kanten für

Paare, für die wir

und

festlegen können .

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Andrew Morgan

@MB: Auch beachten Sie , dass während der Überprüfung , ob

umkehrbar ist das gleiche wie die Überprüfung , ob beide gemacht werden kann

und

separat können, umkehrbar gemacht werden, zu prüfen , ob

gemacht umkehrbar ist nicht , ob das gleiche wie die Überprüfung werden kann

kann zur Identität gemacht werden . Um zu überprüfen, ob

(bzw.

) invertierbar gemacht werden kann, sagen Sie "das kann effektiv gemacht werden", aber in Ihrer Einstellung entspricht dies der Überprüfung auf eine perfekte Übereinstimmung zwischen der Unterstützung von

(bzw.

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (gleiches Problem, aber etwas andere Einstellung als Andrew Morgans zweiter Kommentar).

— Joshua Grochow

Ein spezieller Fall dieses Problems scheint in PPAD wahrscheinlich zu sein, z. B. das lineare Komplementaritätsproblem: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-probélem Dies würde zeigen, dass es schwierig ist, eine Lösung zu finden.

— Domotorp

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

Nun, hier ist eine nicht schreckliche Obergrenze über : oder unter der Annahme der Riemann-Hypothese . Dies liegt daran, dass für jedes gegebene Muster von Nullen für überprüft wird, ob man machen kann, und überprüft wird, ob ein bestimmtes System von ganzzahligen Polynomgleichungen eine Lösung in , und dies kann durchgeführt werden in diesen oberen Schranken von Koiran. $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

Ein anderer Ansatz besteht darin, zu versuchen, die Tatsache zu nutzen, dass es sich tatsächlich um ein System bilinearer Gleichungen handelt. Das Lösen bilinearer Gleichungen entspricht dem Finden von "Rang 1" -Lösungen für lineare Gleichungen. Ich habe versucht festzustellen, ob es bessere Obergrenzen für die Lösung bilinearer Systeme im Allgemeinen gibt, aber bisher ohne Glück. Es ist auch möglich, dass man die besondere Struktur dieser bilinearen Gleichungen nutzen kann, um etwas Besseres als das zu erreichen, was allgemein bekannt ist ...

— Joshua Grochow
quelle

Ergibt sich PSPACE nicht aus dem Problem in NP?

— MB

@MB: Über endliche Felder liegt das Problem offensichtlich in NP (zeige nur das Setzen von Variablen), was sogar eine bessere Obergrenze als AM ist. Wenn es sich bei der Eingabe um ganzzahlige Polynome handelt, Sie jedoch nach einer Lösung für die komplexen Zahlen fragen, ist es nicht einmal offensichtlich, dass Sie diese in eine beliebige endliche Menge an Speicher schreiben können, geschweige denn nach Polynomen.

— Joshua Grochow